Sejam as retas
r:l x=3 t+2, y=5 t+4, z=m t e s:l y=2 x+1 z=x2-32
Calcule o valor de m para que r e s sejam concorrentes.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional, chamadas de e . A reta está descrita por um sistema de equações paramétricas com um parâmetro , e a reta está dada por equações que relacionam e diretamente com .
O objetivo é encontrar o valor de que faz com que essas duas retas sejam concorrentes, ou seja, que elas se cruzem em um ponto comum.
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção de duas retas no espaço e utilizar um pouco de álgebra para igualar as coordenadas das duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das duas retas de forma mais clara.
Para a reta x = 3t + 2 y = 5t + 4 z = mt :
y = 2x + 1 z = x2 - 32
Para a reta y = 2x + 1 = 2(3t + 2) + 1 = 6t + 4 + 1 = 6t + 5 :
z = x2 - 32 = 3t + 22 - 32 = 3t2 + 1 - 32 = 3t2 - 12
Como a reta 5t + 4 = 6t + 5 não está parametrizada, vamos expressar mt = 3t2 - 12 e da reta em termos de usando a reta .
Da reta , temos . Vamos substituir esse valor de nas equações da reta :
Para :
Para :
Agora, igualamos as expressões de e da reta com as da reta :
Para :
Para :

Passo 3

Vamos resolver a equação para 5t + 4 = 6t + 5 :
4 = t + 5
Subtraindo t = -1 de ambos os lados:
m(-1) = 3(-1)2 - 12
Subtraindo 5 de ambos os lados:
- m = -32 - 12 = -42 = -2
Agora que temos o valor de m = 2 , vamos substituir esse valor na equação de para encontrar :
Isso simplifica para:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

O valor de que faz com que as retas e sejam concorrentes é .

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