Diga quais do sitemas acima tem solução? Qual tem solução única? Qual não tem solução?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três sistemas de equações lineares: , e . A gente precisa descobrir quais desses sistemas têm solução, quais têm uma solução única e quais não têm solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para verificar se os sistemas são compatíveis (têm solução) ou incompatíveis (não têm solução), e se a solução é única ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o sistema S = l x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + 2y + z = 0 :
1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 3 & 2 & 1
Para saber se esse sistema tem solução, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma.
A matriz dos coeficientes é:
De
Vamos calcular o determinante dessa matriz ( De):
De
De
Como , o sistema tem uma solução única.
Passo 3
Agora, vamos verificar o sistema S1 = r x + y + z = 4 2x + 5y - 2z = 3 :
x + y + z = 4 Rightarrow x = 4 - y - z
Aqui temos um sistema com duas equações e três incógnitas. Geralmente, quando temos menos equações do que incógnitas, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo das equações.
Vamos resolver esse sistema usando o método da substituição:
Primeiro, da primeira equação:
2(4 - y - z) + 5y - 2z = 3
Agora, substituímos 8 - 2y - 2z + 5y - 2z = 3 na segunda equação:
8 + 3y - 4z = 3
3y - 4z = -5
3y = 4z - 5 Rightarrow y = 4z - 53
x = 4 - ( 4z - 53 ) - z
Essa última equação relaciona x = 4 - 4z - 53 - z e x = 123 - 4z - 53 - 3z3 . Podemos expressar x = 12 - 4z + 5 - 3z3 em função de x = 17 - 7z3 :
x = 17 - 7z3, y = 4z - 53, z = z
Agora, substituímos e de volta:
Então, temos:
Como podemos escolher qualquer valor para , o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Por último, vamos analisar o sistema S2 = r x + y - z = 0 - x + y - z = 1 x + y - z = -1 :
(x + y - z) + (-x + y - z) = 0 + 1
Vamos observar as equações:
2y - 2z = 1 Rightarrow y - z = 12 (1)
x + y - z = 0 (2) x + y - z = -1 (3)
0 = -1
Perceba que a primeira e a terceira equações envolvem as mesmas variáveis com coeficientes iguais, mas resultados diferentes ( e ). Isso já aponta para um problema, pois uma mesma combinação de , e está sendo igual a dois valores diferentes, o que é impossível.
Para confirmar, vamos tentar resolver:
Somando a primeira e a segunda equação:
Agora, da primeira e terceira equação:
Subtraindo (2) de (3):
Isso é uma contradição, ou seja, não existe nenhum , e que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, o sistema não tem solução.
Resposta
O sistema possui uma solução única. O sistema tem infinitas soluções. O sistema não tem solução.