Diga quais do sitemas acima tem solução? Qual tem solução única? Qual não tem solução?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três sistemas de equações lineares: , e . A gente precisa descobrir quais desses sistemas têm solução, quais têm uma solução única e quais não têm solução. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes para verificar se os sistemas são compatíveis (têm solução) ou incompatíveis (não têm solução), e se a solução é única ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o sistema :
Para saber se esse sistema tem solução, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, pode ter infinitas soluções ou nenhuma.
A matriz dos coeficientes é:
Vamos calcular o determinante dessa matriz ():
Como , o sistema tem uma solução única.
Passo 3
Agora, vamos verificar o sistema :
Aqui temos um sistema com duas equações e três incógnitas. Geralmente, quando temos menos equações do que incógnitas, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo das equações.
Vamos resolver esse sistema usando o método da substituição:
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Essa última equação relaciona e . Podemos expressar em função de :
Agora, substituímos e de volta:
Então, temos:
Como podemos escolher qualquer valor para , o sistema tem infinitas soluções.
Passo 4
Por último, vamos analisar o sistema :
Vamos observar as equações:
Perceba que a primeira e a terceira equações envolvem as mesmas variáveis com coeficientes iguais, mas resultados diferentes ( e ). Isso já aponta para um problema, pois uma mesma combinação de , e está sendo igual a dois valores diferentes, o que é impossível.
Para confirmar, vamos tentar resolver:
Somando a primeira e a segunda equação:
Agora, da primeira e terceira equação:
Subtraindo (2) de (3):
Isso é uma contradição, ou seja, não existe nenhum , e que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, o sistema não tem solução.
Resposta
O sistema possui uma solução única. O sistema tem infinitas soluções. O sistema não tem solução.