Verifique quais das funções abaixo são lineares.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função
, definida por
, é linear. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades das transformações lineares. Pra isso, precisamos verificar se a função satisfaz duas condições: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
em
, e para qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Seja
e
. Então:
Aplicando
:
Por outro lado:
Como
, a aditividade está confirmada.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Aplicando
:
Por outro lado:
Como
, a homogeneidade também está confirmada.
Resposta
A função
é uma transformação linear.