Verifique quais das funções abaixo são lineares. (T: F^2 F^2, T(x, y)=(2 x-y, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função , definida por , é linear. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades das transformações lineares. Pra isso, precisamos verificar se a função satisfaz duas condições: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e em , e para qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (2(x1 + x2) - (y1 + y2), 0) = (2x1 + 2x2 - y1 - y2, 0) . Então:
T(u) + T(v) = (2x1 - y1, 0) + (2x2 - y2, 0) = (2x1 - y1 + 2x2 - y2, 0 + 0) = (2x1 + 2x2 - y1 - y2, 0)
Aplicando :
Por outro lado:
Como , a aditividade está confirmada.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja cu = (cx, cy) um escalar e T(cu) = T(cx, cy) = (2(cx) - cy, 0) = (c(2x - y), 0) . Então:
cT(u) = c(2x - y, 0) = (c(2x - y), c cdot 0) = (c(2x - y), 0)
Aplicando :
Por outro lado:
Como , a homogeneidade também está confirmada.

Resposta

A função é uma transformação linear.

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