Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .

Passo 1

O exercício nos apresenta o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas com entradas em um campo . Temos uma matriz fixa não nula em e precisamos verificar se a função é linear. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e em , e quaisquer escalares em , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. (adição)
  2. (escalar)

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição de linearidade, a adição. Tomamos duas matrizes quaisquer e em :
Distribuindo a multiplicação:
Agora, calculamos :
Vemos que:
Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição de linearidade, a multiplicação por escalar. Tomamos uma matriz em e um escalar em :
Isso pode ser reescrito como:
Portanto:
A segunda condição também é satisfeita.

Resposta

A função é linear.

Exercícios relacionados

Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .
Sejam os sistemas abaixo
Diga quais do sitemas acima tem solução? Qual tem solução única? Qual não tem solução?
Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .
Sejam e fixado. Mostre que cada uma das funções abaixo é linear: . (Diferença para frente)