Sejam V=F^n times n e B é uma matriz não nula fixada em V, quais das seguintes funções são lineares? T(A)=B A-A B.

Passo 1

O exercício nos apresenta o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas com entradas em um campo . Temos uma matriz fixa não nula em e precisamos verificar se a função é linear. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e em , e quaisquer escalares em , as seguintes condições são satisfeitas:
  1. (adição)
  2. (escalar)

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição de linearidade, a adição. Tomamos duas matrizes quaisquer T(A + C) = B(A + C) - (A + C)B e = BA + BC - AB - CB em T(A) + T(C) = (BA - AB) + (BC - CB) = BA + BC - AB - CB :
T(A + C) = T(A) + T(C)
Distribuindo a multiplicação:
Agora, calculamos :
Vemos que:
Então, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a segunda condição de linearidade, a multiplicação por escalar. Tomamos uma matriz T(cA) = B(cA) - (cA)B = cBA - cAB = c(BA - AB) em c(BA - AB) = cT(A) e um escalar T(cA) = cT(A) em :
Isso pode ser reescrito como:
Portanto:
A segunda condição também é satisfeita.

Resposta

A função é linear.

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