Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .
Passo 1
O exercício nos apresenta o espaço vetorial , que é o conjunto de todas as matrizes quadradas com entradas em um campo . Temos uma matriz fixa não nula em e precisamos verificar se a função é linear. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer matrizes e em , e quaisquer escalares em , as seguintes condições são satisfeitas:
(adição)
(escalar)
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição de linearidade, a adição. Tomamos duas matrizes quaisquer e em :
Distribuindo a multiplicação:
Agora, calculamos :
Vemos que:
Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição de linearidade, a multiplicação por escalar. Tomamos uma matriz em e um escalar em :