Sejam
e B é uma matriz não nula fixada em
, quais das seguintes funções são lineares?
.
Passo 1
O exercício nos apresenta o espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as matrizes quadradas
com entradas em um campo
. Temos uma matriz fixa não nula
em
e precisamos verificar se a função
é linear. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função
é linear se, para quaisquer matrizes
e
em
, e quaisquer escalares
em
, as seguintes condições são satisfeitas:
-
(adição) -
(escalar)
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição de linearidade, a adição. Tomamos duas matrizes quaisquer
e
em
:
Distribuindo a multiplicação:
Agora, calculamos
:
Vemos que:
Então, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda condição de linearidade, a multiplicação por escalar. Tomamos uma matriz
em
e um escalar
em
:
Isso pode ser reescrito como:
Portanto:
A segunda condição também é satisfeita.
Resposta
A função
é linear.