Verifique quais das funções abaixo são lineares. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função linear na Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para quaisquer vetores e e qualquer escalar :
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Além disso, uma função linear sempre passa pela origem, ou seja, .

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades na nossa função .
1. Verificando a Adição de Vetores:
Sejam e .
  • Soma dos Vetores:
  • Aplicando :
  • Somando as Imagens:
Agora, vamos comparar com :
  • não é igual a a menos que ou seja zero.
Isso já mostra que a propriedade da adição de vetores não é satisfeita em geral.
2. Verificando a Multiplicação por Escalar:
Para reforçar, vamos também verificar a multiplicação por um escalar .
  • Escalar Multiplicando o Vetor:
  • Aplicando :
  • Escalar Multiplicando a Imagem:
Aqui, não é igual a a menos que ou .

Passo 4

Como vimos, a função não satisfaz as propriedades necessárias para ser linear, tanto na adição de vetores quanto na multiplicação por escalar.

Resposta

A função não é linear.

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