Verifique quais das funções abaixo são lineares.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
definida por
. Nosso objetivo é verificar se essa função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função linear na Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma função linear. Uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Além disso, uma função linear sempre passa pela origem, ou seja,
.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades na nossa função
.
1. Verificando a Adição de Vetores:
Sejam
e
.
- Soma dos Vetores:
- Aplicando
: - Somando as Imagens:
Agora, vamos comparar
com
:
-
não é igual a a menos que ou seja zero.
Isso já mostra que a propriedade da adição de vetores não é satisfeita em geral.
2. Verificando a Multiplicação por Escalar:
Para reforçar, vamos também verificar a multiplicação por um escalar
.
- Escalar Multiplicando o Vetor:
- Aplicando
: - Escalar Multiplicando a Imagem:
Aqui,
não é igual a
a menos que
ou
.
Passo 4
Como vimos, a função
não satisfaz as propriedades necessárias para ser linear, tanto na adição de vetores quanto na multiplicação por escalar.
Resposta
A função
não é linear.