Verifique quais das funções abaixo são lineares. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por . Nosso objetivo é verificar se essa função é linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função linear na Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma função linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades básicas para quaisquer vetores e e qualquer escalar :
Adição de Vetores:
Multiplicação por Escalar:
Além disso, uma função linear sempre passa pela origem, ou seja, .
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades na nossa função .
1. Verificando a Adição de Vetores:
Sejam e .
Soma dos Vetores:
Aplicando :
Somando as Imagens:
Agora, vamos comparar com :
não é igual aa menos que ou seja zero.
Isso já mostra que a propriedade da adição de vetores não é satisfeita em geral.
2. Verificando a Multiplicação por Escalar:
Para reforçar, vamos também verificar a multiplicação por um escalar .
Escalar Multiplicando o Vetor:
Aplicando :
Escalar Multiplicando a Imagem:
Aqui, não é igual aa menos que ou .
Passo 4
Como vimos, a função não satisfaz as propriedades necessárias para ser linear, tanto na adição de vetores quanto na multiplicação por escalar.