Sejam
e B é uma matriz não nula fixada em
, quais das seguintes funções são lineares?
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A questão está falando sobre funções lineares no contexto de matrizes. Especificamente, temos um espaço V que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem
(ou seja, matrizes de
) com elementos no conjunto
. Foi fixada uma matriz não nula
nesse espaço, e queremos saber se a função
definida por
é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função linear e como aplicá-la a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função
é linear se, para todas as matrizes
e
em
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Adição:
- Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a função preserva a estrutura linear do espaço.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Tomemos duas matrizes quaisquer
e
em
. Aplicando a função
, temos:
Por outro lado, somando as imagens de
e
individualmente:
Como
, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Tomemos um escalar
e uma matriz
em
. Aplicando a função
, temos:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação por escalar em matrizes. Como
, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas, a função
é linear.