Sejam e B é uma matriz não nula fixada em , quais das seguintes funções são lineares? .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A questão está falando sobre funções lineares no contexto de matrizes. Especificamente, temos um espaço V que é o conjunto de todas as matrizes quadradas de ordem (ou seja, matrizes de ) com elementos no conjunto . Foi fixada uma matriz não nula nesse espaço, e queremos saber se a função definida por é linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função linear e como aplicá-la a essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se, para todas as matrizes e em e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
Adição:
Homogeneidade:
Essas propriedades garantem que a função preserva a estrutura linear do espaço.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Tomemos duas matrizes quaisquer e em . Aplicando a função , temos:
Por outro lado, somando as imagens de e individualmente:
Como , a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a segunda propriedade, a homogeneidade. Tomemos um escalar e uma matriz em . Aplicando a função , temos:
Aqui, usamos a propriedade distributiva da multiplicação por escalar em matrizes. Como , a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas, a função é linear.