Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
a) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos trabalhando com , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. A gente tem um subespaço gerado pelo conjunto . Nosso objetivo aqui é determinar exatamente o que é , ou seja, quais são todos os polinômios que podem ser formados combinando esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “subespaço gerado por um conjunto de vetores”. Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores em . Isso inclui somas e multiplicações desses vetores por escalares (números reais, no caso).
Passo 3
Vamos escrever uma combinação linear de :
onde são números reais.
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Observamos que temos termos com , e constantes.
Passo 5
Perceba que se , teremos um termo no polinômio, o que significa que incluirá polinômios de grau até 3. Mas vamos verificar se os vetores são independentes para determinar a dimensão de .
Passo 6
Para isso, montamos uma matriz com os coeficientes dos polinômios e verificamos se há dependência linear:
Após analisar, vemos que os vetores são linearmente independentes, pois não há combinação não trivial que resulte no vetor zero.
Passo 7
Isso significa que tem dimensão 4 e, portanto, é igual a . Ou seja, qualquer polinômio de grau até 3 pode ser formado combinando os vetores de .
Resposta
O subespaço é igual a , ou seja, todos os polinômios de grau no máximo 3.