Sejam V=P3 e W um subespaço vetorial de V gerado pelos vetores do conjunto A=2 x, 1+x, 1+3 x, 1+x^3. Determine:
a) W;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que estamos trabalhando com , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3. A gente tem um subespaço gerado pelo conjunto . Nosso objetivo aqui é determinar exatamente o que é , ou seja, quais são todos os polinômios que podem ser formados combinando esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “subespaço gerado por um conjunto de vetores”. Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores em . Isso inclui somas e multiplicações desses vetores por escalares (números reais, no caso).

Passo 3

Vamos escrever uma combinação linear de W = a(2x) + b(1 + x) + c(1 + 3x) + d(1 + x^3) :
onde são números reais.

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
W = (2a + b + c + d) x + (b + c + d) + d x^3
Observamos que temos termos com , e constantes.

Passo 5

Perceba que se , teremos um termo no polinômio, o que significa que incluirá polinômios de grau até 3. Mas vamos verificar se os vetores são independentes para determinar a dimensão de .

Passo 6

Para isso, montamos uma matriz com os coeficientes dos polinômios e verificamos se há dependência linear:
0 & 2 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1
Após analisar, vemos que os vetores são linearmente independentes, pois não há combinação não trivial que resulte no vetor zero.

Passo 7

Isso significa que tem dimensão 4 e, portanto, é igual a . Ou seja, qualquer polinômio de grau até 3 pode ser formado combinando os vetores de .

Resposta

O subespaço é igual a , ou seja, todos os polinômios de grau no máximo 3.

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