As superfícies e estão em coordenadas esféricas.
$(b) Obtenha as equações das superfícies e em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar as equações das superfícies e que estão em coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas. Isso significa que vamos mudar a maneira como estamos descrevendo essas superfícies usando uma outra forma de coordenadas. Para isso, vamos precisar lembrar das relações entre coordenadas esféricas e cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar as fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cilíndricas :
Essas relações vão nos ajudar a reescrever as equações das superfícies.
Passo 3
Vamos começar com a superfície .
Sabemos que é o ângulo entre o eixo e o raio . Então, podemos usar a relação entre e em coordenadas cilíndricas:
Mas como , substituímos:
Como , temos . Vamos substituir:
Agora, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, isolando :
Passo 4
Agora, vamos para a superfície .
Primeiro, fatoramos :
Sabemos que:
Então, substituindo na equação:
Simplificando:
Resposta
As equações das superfícies em coordenadas cilíndricas são: