As superfícies e estão em coordenadas esféricas.
$(b) Obtenha as equações das superfícies e em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar as equações das superfícies e que estão em coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas. Isso significa que vamos mudar a maneira como estamos descrevendo essas superfícies usando uma outra forma de coordenadas. Para isso, vamos precisar lembrar das relações entre coordenadas esféricas e cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos refrescar as fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cilíndricas :
Essas relações vão nos ajudar a reescrever as equações das superfícies.
Passo 3
Vamos começar com a superfície z = rho cosphi .
Sabemos que z = raizr^2 + z^2 cosphi é o ângulo entre o eixo z = raizr^2 + z^2 cdot 12 e o raio 2z = raizr^2 + z^2 . Então, podemos usar a relação entre 4z^2 = r^2 + z^2 e 3z^2 = r^2 em coordenadas cilíndricas:
z = rraiz3
Mas como , substituímos:
Como , temos . Vamos substituir:
Agora, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, isolando :
Passo 4
Agora, vamos para a superfície rho^2 (sin^2 phi - 2 cos^2 phi) = 1 .
Primeiro, fatoramos sinphi = rrho e cosphi = zrho :
rho^2 ( (rrho)^2 - 2 (zrho)^2 ) = 1
Sabemos que:
rho^2 ( r^2rho^2 - 2 z^2rho^2 ) = 1
Então, substituindo na equação:
r^2 - 2z^2 = 1
Simplificando:
Resposta
As equações das superfícies em coordenadas cilíndricas são: