As superfícies e estão em coordenadas esféricas.
$(b) Obtenha as equações das superfícies e em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente transformar as equações das superfícies e que estão em coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas. Isso significa que vamos mudar a maneira como estamos descrevendo essas superfícies usando uma outra forma de coordenadas. Para isso, vamos precisar lembrar das relações entre coordenadas esféricas e cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar as fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cilíndricas :
Essas relações vão nos ajudar a reescrever as equações das superfícies.

Passo 3

Vamos começar com a superfície .
Sabemos que é o ângulo entre o eixo e o raio . Então, podemos usar a relação entre e em coordenadas cilíndricas:
Mas como , substituímos:
Como , temos . Vamos substituir:
Agora, vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:
Finalmente, isolando :

Passo 4

Agora, vamos para a superfície .
Primeiro, fatoramos :
Sabemos que:
Então, substituindo na equação:
Simplificando:

Resposta

As equações das superfícies em coordenadas cilíndricas são:

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Dados os pontos , ,
h) Quais pontos estão nos planos yz e xz?
Sejam e um subespaço vetorial de gerado pelos vetores do conjunto . Determine:
a) ;
Analise as afirmativas e classifique-as em verdadeiro ou falso. Apresente a justificativa nas falsas.
v) Se u e são v vetores ortogonais, onde , então .
Analise as afirmativas e classifique-as em verdadeiro ou falso. Apresente a justificativa nas falsas.
ii) 0 produto misto obtido através de três vetores não coplanares do fornece um número que representa o volume do tetraedro formado pelos três vetores.