Sejam I subset R um intervalo aberto e f: I R uma função. Dado a in I, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a) ) é a (única) reta que passa pelo ponto (a, f(a) ) e tem inclinação igual a
f^prime(a)=lim x a f(x)-f(a)x-a
quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente y=y(x) é dada por y-f(a)=f^prime(a)(x-a). A expressão acima significa que, quando x se aproxima de a, o quociente (f(x)-f(a)) /(x-a) se aproxima do número f^prime(a).
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) para o valor de a indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a) )
2a
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação f^prime(a) para o valor de a indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a) )
(a) f(x)=x^2, para a=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa descobrir a inclinação da reta tangente no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Depois, com a inclinação em mãos, vamos montar a equação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde queremos encontrar a reta tangente. Sabemos que f(2) = (2)^2 = 4 , então vamos calcular :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente, que é a derivada de f'(a) = limx to a f(x) - f(a)x - a no ponto f'(2) = limx to 2 x^2 - 4x - 2 . A derivada x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) é dada por:
f'(2) = limx to 2 (x - 2)(x + 2)x - 2 = limx to 2 (x + 2) = 4
Substituindo e :
Simplificando o numerador:
Então:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação y - f(a) = f'(a)(x - a) e o ponto de tangência y - 4 = 4(x - 2) , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula:
y - 4 = 4x - 8
Substituindo os valores:
y = 4x - 4
Distribuindo o 4:
Finalmente, isolando :

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

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