Sejam um intervalo aberto e uma função. Dado , a reta tangente ao gráfico de no ponto ) é a (única) reta que passa pelo ponto ) e tem inclinação igual a
quando o limite existe (veja Texto 2 e/ou vídeo). Neste caso, a equação da reta tangente é dada por . A expressão acima significa que, quando se aproxima de , o quociente se aproxima do número .
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação para o valor de indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto )
2a
Para cada uma das funções abaixo, determine a inclinação para o valor de indicado. Em seguida, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto )
(a) , para

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função e precisa descobrir a inclinação da reta tangente no ponto onde . Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva. Depois, com a inclinação em mãos, vamos montar a equação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde queremos encontrar a reta tangente. Sabemos que , então vamos calcular :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta tangente, que é a derivada de no ponto . A derivada é dada por:
Substituindo e :
Simplificando o numerador:
Então:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Distribuindo o 4:
Finalmente, isolando :

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é .

Exercícios relacionados

Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
Um arco de circunferência mede 300 graus e seu comprimento é 2 km . * 5 pontos Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros?
○ 157
○ 284
○ 628
○ 764
○ 382
Outro:
Dada a função abaixo, assinale a única resposta correta. *

  • , Período = pi/6
  • , Período = pi/2
    , Período pi
    , Período
  • , Período pi