Sejam três vetores a=(3,0) i+(3,0) j-(2,0) k, b=(21,0) i-(4,0) j+(2,0) k e c=(2,0) i+(2,0) j+ (1,0) k. Determine os vetores unitários nas direções dos vetores (a) a, (b) b, © c e (d) a+b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os vetores unitários nas direções dos vetores a, b, c e a + b. Vetores unitários são aqueles que têm magnitude igual a 1, ou seja, apenas indicam a direção do vetor original. Para isso, vamos precisar calcular a magnitude de cada vetor e depois dividir cada componente do vetor pela sua magnitude. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular como encontrar a magnitude de um vetor. Se tivermos um vetor v = vx i + vy j + vz k, a magnitude é calculada usando a fórmula:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Isso basicamente soma o quadrado de cada componente e tira a raiz quadrada.

Passo 3

Vamos começar com o vetor a. Ela é dada por:
a = 3i + 3j - 2k
Primeiro, calculamos a magnitude de a:
|a| = raiz3^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz9 + 9 + 4 = raiz22

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor unitário na direção de a, dividimos cada componente de a pela sua magnitude:
a = a|a| = ( 3raiz22 )i + ( 3raiz22 )j + ( -2raiz22 )k

Passo 5

Vamos para o vetor b:
b = 21i - 4j + 2k
Calculando a magnitude de b:
|b| = raiz21^2 + (-4)^2 + 2^2 = raiz441 + 16 + 4 = raiz461

Passo 6

O vetor unitário na direção de b fica assim:
b = b|b| = ( 21raiz461 )i + ( -4raiz461 )j + ( 2raiz461 )k

Passo 7

Agora, vamos para o vetor c:
c = 2i + 2j + 1k
Calculamos a magnitude de c:
|c| = raiz2^2 + 2^2 + 1^2 = raiz4 + 4 + 1 = raiz9 = 3

Passo 8

O vetor unitário na direção de c é:
c = c|c| = ( 23 )i + ( 23 )j + ( 13 )k

Passo 9

Por último, precisamos encontrar o vetor a + b. Vamos somar as componentes correspondentes:
a + b = (3 + 21)i + (3 - 4)j + (-2 + 2)k = 24i - 1j + 0k

Passo 10

Calculamos a magnitude de a + b:
|a + b| = raiz24^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz576 + 1 + 0 = raiz577

Passo 11

Então, o vetor unitário na direção de a + b é:
widehata + b = a + b|a + b| = ( 24raiz577 )i + ( -1raiz577 )j + ( 0raiz577 )k

Resposta

Os vetores unitários nas direções dos vetores dados são:
a) Para a:
a = ( 3raiz22 )i + ( 3raiz22 )j + ( -2raiz22 )k
b) Para b:
b = ( 21raiz461 )i + ( -4raiz461 )j + ( 2raiz461 )k
c) Para c:
c = ( 23 )i + ( 23 )j + ( 13 )k
d) Para a + b:
widehata + b = ( 24raiz577 )i + ( -1raiz577 )j + 0k

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