Sejam u=2 a+b-c e v=-a+b+2 c vetores, onde a, b e c são vetores linearmente independentes. Mostre que o vetor w=9 a+15 b+6 c é combinação linear de u e v, e determine os coeficientes dessa combinação linear. Justifique detalhadamente sua resposta. Resp. alpha=8 e beta=7

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos dois vetores u e v expressos em termos de vetores a, b e c, que são linearmente independentes. O objetivo é mostrar que o vetor w pode ser escrito como uma combinação linear de u e v, ou seja, encontrar coeficientes alpha e beta tais que:
w = alpha u + beta v
Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as expressões dos vetores u, v e w:
u = 2a + b - c
v = -a + b + 2c
w = 9a + 15b + 6c
Queremos encontrar alpha e beta tais que:
9a + 15b + 6c = alpha(2a + b - c) + beta(-a + b + 2c)

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito:
alpha(2a + b - c) + beta(-a + b + 2c) = 2alphaa + alphab - alphac - betaa + betab + 2betac
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
(2alpha - beta)a + (alpha + beta)b + (-alpha + 2beta)c

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos vetores correspondentes dos dois lados da equação:
2alpha - beta = 9 alpha + beta = 15 -alpha + 2beta = 6
Temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( alpha e beta). Vamos resolver esse sistema.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação:
alpha + beta = 15 Rightarrow alpha = 15 - beta
Vamos substituir alpha na primeira e terceira equações:
  1. Primeiro equação:
2(15 - beta) - beta = 9 30 - 2beta - beta = 9 30 - 3beta = 9 -3beta = 9 - 30 -3beta = -21 beta = 7

Passo 6

Agora que temos beta = 7, substituímos na expressão alpha = 15 - beta:
alpha = 15 - 7 = 8

Passo 7

Vamos verificar na terceira equação para confirmar:
-alpha + 2beta = -8 + 14 = 6
Está correto!

Resposta

Os coeficientes são alpha = 8 e beta = 7.

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