Sejam e vetores, onde e são vetores linearmente independentes. Mostre que o vetor é combinação linear de e , e determine os coeficientes dessa combinação linear. Justifique detalhadamente sua resposta. Resp. e
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está nos pedindo. Temos dois vetores e expressos em termos de vetores , e , que são linearmente independentes. O objetivo é mostrar que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear de e , ou seja, encontrar coeficientes e tais que:
Para isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as expressões dos vetores , e :
Queremos encontrar e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado direito:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos vetores correspondentes dos dois lados da equação:
Temos um sistema de três equações com duas incógnitas (alpha e beta). Vamos resolver esse sistema.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação:
alpha + beta = 15 Rightarrow alpha = 15 - beta
Vamos substituir alpha na primeira e terceira equações: