Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear onde precisamos verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais. Os conjuntos são:
Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que precisamos verificar.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço vetorial? É essencialmente um “espaço dentro de outro espaço”. Para um conjunto ser um subespaço vetorial de um espaço maior (como
), ele precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor
. - Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado para multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número (escala), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar isso para cada conjunto.
Passo 3
Analisando
:
- Contém o vetor zero: Claro,
está em . - Fechado para adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer
e em , a soma fica , que também está em . - Fechado para multiplicação escalar: Multiplicando
por um escalar , temos , que também está em .
Conclusão:
satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de si mesmo (na verdade, é o espaço original).
Passo 4
Analisando
:
- Contém o vetor zero: Substituindo
e , temos que está em . - Fechado para adição: Pegando dois vetores
e em , a soma é , que também está em . - Fechado para multiplicação escalar: Multiplicando
por um escalar , temos , que está em .
Conclusão:
também satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim, ambos os conjuntos
e
são subespaços vetoriais.