Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de álgebra linear onde precisamos verificar se dois conjuntos são subespaços vetoriais. Os conjuntos são:
Para resolver isso, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que precisamos verificar.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço vetorial? É essencialmente um “espaço dentro de outro espaço”. Para um conjunto ser um subespaço vetorial de um espaço maior (como ), ele precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor .
  2. Fechado para adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado para multiplicação escalar: Se você multiplicar qualquer vetor do conjunto por um número (escala), o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar isso para cada conjunto.

Passo 3

Analisando :
  1. Contém o vetor zero: Claro, está em .
  2. Fechado para adição: Se pegarmos dois vetores quaisquer e em , a soma fica , que também está em .
  3. Fechado para multiplicação escalar: Multiplicando por um escalar , temos , que também está em .
Conclusão: satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de si mesmo (na verdade, é o espaço original).

Passo 4

Analisando :
  1. Contém o vetor zero: Substituindo e , temos que está em .
  2. Fechado para adição: Pegando dois vetores e em , a soma é , que também está em .
  3. Fechado para multiplicação escalar: Multiplicando por um escalar , temos , que está em .
Conclusão: também satisfaz todas as condições para ser um subespaço vetorial de .

Resposta

Sim, ambos os conjuntos e são subespaços vetoriais.

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Classifique os seguintes subconjuntos do L.I ou L.D.:
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam e S o conjunto-solução do sistema linear homogêneo:
Sejam e o conjunto dos vetores ortogonais a . Prove que qualquer combinação linear de vetores de pertence a ;