Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam e S o conjunto-solução do sistema linear homogêneo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto , que representa todas as matrizes 3×1, ou seja, vetores coluna com 3 componentes. O conjunto é definido como o conjunto solução de um sistema linear homogêneo. Queremos verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicá-los ao conjunto .
Passo 2
Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer a .
Fechado sob adição: Se dois vetores estão em , a soma deles também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em , qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Um sistema linear homogêneo sempre inclui o vetor zero como solução. Substituindo , e nas equações, obtemos:
Todas as equações são satisfeitas, então o vetor zero está em .
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e em . Isso significa que ambos satisfazem o sistema:
e
Vamos somar os dois vetores: . Substituindo na primeira equação do sistema:
O mesmo vale para as outras equações. Portanto, .
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor em e um escalar . Multiplicando o vetor por , temos . Substituindo na primeira equação do sistema:
O mesmo ocorre para as demais equações. Portanto, .