Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam e S o conjunto-solução do sistema linear homogêneo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto V = M(3,1), que representa todas as matrizes 3×1, ou seja, vetores coluna com 3 componentes. O conjunto S é definido como o conjunto solução de um sistema linear homogêneo. Queremos verificar se S é um subespaço vetorial de V. Para isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicá-los ao conjunto S.
Passo 2
Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer a S.
Fechado sob adição: Se dois vetores estão em S, a soma deles também deve estar em S.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em S, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em S.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Um sistema linear homogêneo sempre inclui o vetor zero como solução. Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0 nas equações, obtemos:
O mesmo vale para as outras equações. Portanto, u + v in S.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor u = xyz em S e um escalar k. Multiplicando o vetor por k, temos ku = kxkykz. Substituindo na primeira equação do sistema: