Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam V=M(3,1) e S o conjunto-solução do sistema linear homogêneo:
c3 x+4 y-2 x=0 2 x+y-z=0 x+3 y-z=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos o conjunto V = M(3,1), que representa todas as matrizes 3×1, ou seja, vetores coluna com 3 componentes. O conjunto S é definido como o conjunto solução de um sistema linear homogêneo. Queremos verificar se S é um subespaço vetorial de V. Para isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicá-los ao conjunto S.

Passo 2

Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições principais:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero deve pertencer a S.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em S, a soma deles também deve estar em S.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em S, qualquer múltiplo desse vetor também deve estar em S.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Um sistema linear homogêneo sempre inclui o vetor zero como solução. Substituindo x = 0, y = 0 e z = 0 nas equações, obtemos:
3(0) + 4(0) - 2(0) = 0 2(0) + 0 - 0 = 0 0 + 3(0) - 0 = 0
Todas as equações são satisfeitas, então o vetor zero está em S.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer u = x1y1z1 e v = x2y2z2 em S. Isso significa que ambos satisfazem o sistema:
3x1 + 4y1 - 2z1 = 0 2x1 + y1 - z1 = 0 x1 + 3y1 - z1 = 0
e
3x2 + 4y2 - 2z2 = 0 2x2 + y2 - z2 = 0 x2 + 3y2 - z2 = 0
Vamos somar os dois vetores: u + v = x1 + x2y1 + y2z1 + z2. Substituindo na primeira equação do sistema:
3(x1 + x2) + 4(y1 + y2) - 2(z1 + z2) = (3x1 + 4y1 - 2z1) + (3x2 + 4y2 - 2z2) = 0 + 0 = 0
O mesmo vale para as outras equações. Portanto, u + v in S.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor u = xyz em S e um escalar k. Multiplicando o vetor por k, temos ku = kxkykz. Substituindo na primeira equação do sistema:
3(kx) + 4(ky) - 2(kz) = k(3x + 4y - 2z) = k cdot 0 = 0
O mesmo ocorre para as demais equações. Portanto, ku in S.

Resposta

O conjunto S é um subespaço vetorial de V = M(3,1).

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