Sejam u=(raiz3, 1) e v=(1, k). Determinar o valor de k para que:
(3) a medida angular entre u e v seja de pi6.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é dois vetores, e . A questão pede para a gente encontrar o valor de de forma que o ângulo entre esses dois vetores seja (30 graus). Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos a cdot b = a1b1 + a2b2 e a cdot b = |a| cdot |b| cdot cos(theta) , o produto escalar é dado por:
Além disso, a fórmula que liga o produto escalar ao ângulo entre os vetores é:
Onde e são os módulos (ou magnitudes) dos vetores e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar entre u cdot v = raiz3 cdot 1 + 1 cdot k = raiz3 + k e :

Passo 4

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores |u| = raiz(raiz3)^2 + 1^2 = raiz3 + 1 = raiz4 = 2 e |v| = raiz1^2 + k^2 = raiz1 + k^2 :

Passo 5

Sabemos que o ângulo entre os vetores é u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(pi6) , então raiz3 + k = 2 cdot raiz1 + k^2 cdot raiz32 . Vamos substituir tudo na fórmula do produto escalar:
raiz3 + k = raiz3 cdot raiz1 + k^2
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Vamos isolar raiz1 + k^2 = raiz3 + kraiz3 :
1 + k^2 = (raiz3 + kraiz3)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
1 + k^2 = (raiz3 + k)^23
3(1 + k^2) = (raiz3 + k)^2
Multiplicando ambos os lados por 3:
3 + 3k^2 = 3 + 2raiz3k + k^2

Passo 7

Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
3k^2 - k^2 - 2raiz3k = 0
2k^2 - 2raiz3k = 0
Fatorando:
2k(k - raiz3) = 0

Passo 8

Isso nos dá duas soluções possíveis:
2k = 0 ou k - raiz3 = 0
Então:
k = 0 ou k = raiz3

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são ou .

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