Sejam
e
. Determinar o valor de
para que:
(3) a medida angular entre
e
seja de
.
(3) a medida angular entre
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é dois vetores,
e
. A questão pede para a gente encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre esses dois vetores seja
(30 graus). Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto escalar e a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. Se tivermos
e
, o produto escalar é dado por:
Além disso, a fórmula que liga o produto escalar ao ângulo
entre os vetores é:
Onde
e
são os módulos (ou magnitudes) dos vetores
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores
e
:
Passo 5
Sabemos que o ângulo entre os vetores é
, então
. Vamos substituir tudo na fórmula do produto escalar:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 7
Vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Fatorando:
Passo 8
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Então:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
ou
.