Sejam
. Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em
. Encontre a matriz que gera esse produto interno.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores,
e
, e um produto interno definido como
. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa esse produto interno em
. Para isso, vamos precisar entender como os produtos internos podem ser representados por matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer produto interno em um espaço vetorial pode ser representado por uma matriz simétrica. Essa matriz, quando multiplicada pelos vetores, dá exatamente o valor do produto interno. No nosso caso, queremos achar uma matriz
tal que:
Onde
é a transposta do vetor
.
Passo 3
Vamos expandir a expressão
. Se
for uma matriz
com elementos
, temos:
Mas, observando o nosso produto interno dado, que só tem termos
e
, percebemos que os termos cruzados
e
devem ser zero. Isso significa que
e
são zero.
Passo 4
Agora, igualando os termos correspondentes do nosso produto interno com a expressão expandida:
Daí, temos que
e
. Assim, a matriz
que representa esse produto interno é:
Resposta
A matriz que gera o produto interno é:
Exercícios relacionados
Em cada parte, use o produto interno em
dado para calcular
, com
.
(b) o produto interno euclidiano ponderado
.
(b) o produto interno euclidiano ponderado
Suponha que
tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre
.
(a)
(a)
Suponha que
tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre
.
(a)
(a)
Suponha que
tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre
.
(b)
(b)