Sejam . Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em . Encontre a matriz que gera esse produto interno.
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, e , e um produto interno definido como . Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa esse produto interno em . Para isso, vamos precisar entender como os produtos internos podem ser representados por matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer produto interno em um espaço vetorial pode ser representado por uma matriz simétrica. Essa matriz, quando multiplicada pelos vetores, dá exatamente o valor do produto interno. No nosso caso, queremos achar uma matriz tal que:
Onde é a transposta do vetor .

Passo 3

Vamos expandir a expressão . Se for uma matriz com elementos , temos:
Mas, observando o nosso produto interno dado, que só tem termos e , percebemos que os termos cruzados e devem ser zero. Isso significa que e são zero.

Passo 4

Agora, igualando os termos correspondentes do nosso produto interno com a expressão expandida:
Daí, temos que e . Assim, a matriz que representa esse produto interno é:

Resposta

A matriz que gera o produto interno é:

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Em cada parte, use o produto interno em dado para calcular , com .
(b) o produto interno euclidiano ponderado .
Suponha que tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre .
(a)
Suponha que tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre .
(a)
Suponha que tenha o produto interno do Exemplo 6. Em cada parte, encontre .
(b)