Sejam u=(u1, u2) e v=(v1, v2). Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R^2. Encontre a matriz que gera esse produto interno.
(a) lang<=u, vrang<==3 u1 v1+5 u2 v2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, u = (u1, u2) e v = (v1, v2), e um produto interno definido como lang<=u, vrang<= = 3 u1 v1 + 5 u2 v2. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz que representa esse produto interno em R^2. Para isso, vamos precisar entender como os produtos internos podem ser representados por matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer produto interno em um espaço vetorial pode ser representado por uma matriz simétrica. Essa matriz, quando multiplicada pelos vetores, dá exatamente o valor do produto interno. No nosso caso, queremos achar uma matriz A tal que:
lang<=u, vrang<= = u^T A v
Onde u^T é a transposta do vetor u.

Passo 3

Vamos expandir a expressão u^T A v. Se A for uma matriz 2 times 2 com elementos a11, a12, a21, a22, temos:
Mas, observando o nosso produto interno dado, que só tem termos u^T A v = u1 & u2 a11 & a12 a21 & a22 v1 v2 = a11u1v1 + a12u1v2 + a21u2v1 + a22u2v2 e u1v1, percebemos que os termos cruzados u2v2 e u1v2 devem ser zero. Isso significa que u2v1 e a12 são zero.

Passo 4

Agora, igualando os termos correspondentes do nosso produto interno com a expressão expandida:
3u1v1 + 5u2v2 = a11u1v1 + a22u2v2
Daí, temos que a11 = 3 e a22 = 5. Assim, a matriz A que representa esse produto interno é:
A = 3 & 0 0 & 5

Resposta

A matriz que gera o produto interno é:
3 & 0 0 & 5

Exercícios relacionados