Sejam u=(-2,1) e v=(1,1). Determine o ângulo entre u e v.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos dois vetores, u = (-2, 1) e v = (1, 1). Precisamos encontrar o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de Álgebra Vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar que relaciona o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar (ou produto interno) de dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = ux vx + uy vy
onde ux e uy são as componentes de u, e vx e vy as de v.

Passo 3

Calculando o produto escalar dos vetores dado:
u cdot v = (-2) times 1 + 1 times 1 = -2 + 1 = -1

Passo 4

Agora, precisamos calcular as magnitudes (ou normas) dos vetores u e v. A magnitude de um vetor u = (ux, uy) é dada por:
|u| = raizux^2 + uy^2

Passo 5

Calculando a magnitude de u:
|u| = raiz(-2)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
Calculando a magnitude de v:
|v| = raiz1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 6

Agora, usamos a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
u cdot v = |u| times |v| times cos(theta)
Queremos encontrar o ângulo theta, então isolamos cos(theta):
cos(theta) = u cdot v|u| times |v|

Passo 7

Substituindo os valores que já calculamos:
cos(theta) = -1raiz5 times raiz2 = -1raiz10

Passo 8

Para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(-1raiz10)
Calculando isso:
theta approx 108,43^circ

Resposta

O ângulo entre u e v é aproximadamente 108,43^circ.

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