Sejam vetores e . Prove que:
(1) .
(2) .
(3) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e dois números reais, e . A gente precisa provar três igualdades que envolvem operações com vetores, como adição, subtração e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos lembrar como somar vetores, como multiplicar vetores por um número (escalar) e algumas propriedades básicas das operações vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte:
(1)
Primeiro, o que significa o sinal de menos na frente de um vetor? Quando colocamos um sinal de menos na frente de um vetor, estamos falando do vetor oposto. Ou seja, é o vetor que tem a mesma direção e magnitude que , mas aponta na direção oposta.
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
significa que estamos pegando a soma dos vetores e e invertendo a direção do resultado.
Segundo as propriedades da adição vetorial, podemos distribuir o sinal de menos:
Então, provamos que o oposto da soma é igual à soma dos opostos.

Passo 3

Agora vamos para a segunda parte:
(2)
Aqui, estamos multiplicando um escalar pela diferença dos vetores e . Vamos lembrar que a multiplicação por escalar distribui sobre a adição ou subtração de vetores.
Primeiro, distribuímos dentro do parêntese:
Isso significa que multiplicar um escalar por uma diferença de vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois subtrair os resultados. Essa propriedade é chamada de distributividade da multiplicação por escalar sobre a subtração vetorial.

Passo 4

Vamos para a terceira parte:
(3)
Neste caso, estamos multiplicando a diferença de dois escalares, e , pelo vetor . Novamente, usamos a distributividade da multiplicação por escalar sobre a subtração.
Distribuímos sobre :
Isso quer dizer que a multiplicação de um escalar pela diferença de escalares aplicados a um vetor é igual à diferença das multiplicações individuais.

Resposta

Provar cada uma das igualdades usando as propriedades da adição vetorial e da multiplicação por escalar nos permite confirmar que:
Todas as igualdades estão, portanto, comprovadas.

Exercícios relacionados

Sejam pontos distintos de uma reta que estejam nesta ordem igualmente espaçados. Sejam e . Determine o que se pede:
(1) em função de e
(5) em função de
(9) em função de e
(2) em função de e
(6) em função de
(10) em função de
(3) em função de
(7) em função de
(11) em função de e
(4) em função de
(8) em função de e
(12) em função de
Três vértices de um retângulo são e Determinar o quarto vértice e a área.
Para , vetores tais que e , prove que:
(1)
(3)
(4)
(5)
(6)
Dados os vetores e , determinar: