Sejam u, v vetores e lambda, mu in R. Prove que:
(1) -(u+v)=-u-v.
(2) lambda(u-v)=lambda u-lambda v.
(3) (lambda-mu) u=lambda u-mu u.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, e dois números reais, lambda e mu. A gente precisa provar três igualdades que envolvem operações com vetores, como adição, subtração e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos lembrar como somar vetores, como multiplicar vetores por um número (escalar) e algumas propriedades básicas das operações vetoriais.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte:
(1) -(u+v)=-u-v
Primeiro, o que significa o sinal de menos na frente de um vetor? Quando colocamos um sinal de menos na frente de um vetor, estamos falando do vetor oposto. Ou seja, -u é o vetor que tem a mesma direção e magnitude que u, mas aponta na direção oposta.
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
-(u + v) significa que estamos pegando a soma dos vetores u e v e invertendo a direção do resultado.
Segundo as propriedades da adição vetorial, podemos distribuir o sinal de menos:
-(u + v) = -u - v
Então, provamos que o oposto da soma é igual à soma dos opostos.

Passo 3

Agora vamos para a segunda parte:
(2) lambda(u-v)=lambda u-lambda v
Aqui, estamos multiplicando um escalar lambda pela diferença dos vetores u e v. Vamos lembrar que a multiplicação por escalar distribui sobre a adição ou subtração de vetores.
Primeiro, distribuímos lambda dentro do parêntese:
lambda(u - v) = lambda u - lambda v
Isso significa que multiplicar um escalar por uma diferença de vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois subtrair os resultados. Essa propriedade é chamada de distributividade da multiplicação por escalar sobre a subtração vetorial.

Passo 4

Vamos para a terceira parte:
(3) (lambda-mu) u=lambda u-mu u
Neste caso, estamos multiplicando a diferença de dois escalares, lambda e mu, pelo vetor u. Novamente, usamos a distributividade da multiplicação por escalar sobre a subtração.
Distribuímos (lambda - mu) sobre u:
(lambda - mu) u = lambda u - mu u
Isso quer dizer que a multiplicação de um escalar pela diferença de escalares aplicados a um vetor é igual à diferença das multiplicações individuais.

Resposta

Provar cada uma das igualdades usando as propriedades da adição vetorial e da multiplicação por escalar nos permite confirmar que:
  1. -(u+v)=-u-v
  2. lambda(u-v)=lambda u-lambda v
  3. (lambda-mu) u=lambda u-mu u
Todas as igualdades estão, portanto, comprovadas.

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