Sejam
vetores e
. Prove que:
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(1)
(2)
(3)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, e dois números reais,
e
. A gente precisa provar três igualdades que envolvem operações com vetores, como adição, subtração e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos lembrar como somar vetores, como multiplicar vetores por um número (escalar) e algumas propriedades básicas das operações vetoriais.
Passo 2
Vamos começar com a primeira parte:
(1)
Primeiro, o que significa o sinal de menos na frente de um vetor? Quando colocamos um sinal de menos na frente de um vetor, estamos falando do vetor oposto. Ou seja,
é o vetor que tem a mesma direção e magnitude que
, mas aponta na direção oposta.
Agora, vamos expandir o lado esquerdo da equação:
Segundo as propriedades da adição vetorial, podemos distribuir o sinal de menos:
Então, provamos que o oposto da soma é igual à soma dos opostos.
Passo 3
Agora vamos para a segunda parte:
(2)
Aqui, estamos multiplicando um escalar
pela diferença dos vetores
e
. Vamos lembrar que a multiplicação por escalar distribui sobre a adição ou subtração de vetores.
Primeiro, distribuímos
dentro do parêntese:
Isso significa que multiplicar um escalar por uma diferença de vetores é o mesmo que multiplicar o escalar por cada vetor individualmente e depois subtrair os resultados. Essa propriedade é chamada de distributividade da multiplicação por escalar sobre a subtração vetorial.
Passo 4
Vamos para a terceira parte:
(3)
Neste caso, estamos multiplicando a diferença de dois escalares,
e
, pelo vetor
. Novamente, usamos a distributividade da multiplicação por escalar sobre a subtração.
Distribuímos
sobre
:
Isso quer dizer que a multiplicação de um escalar pela diferença de escalares aplicados a um vetor é igual à diferença das multiplicações individuais.
Resposta
Provar cada uma das igualdades usando as propriedades da adição vetorial e da multiplicação por escalar nos permite confirmar que:
Todas as igualdades estão, portanto, comprovadas.