Para , vetores tais que e , prove que:
(1)
(3)
(4)
(5)
(6)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e alguns números reais , , e , onde e são diferentes de zero. Precisamos provar algumas igualdades envolvendo operações com vetores e esses números. Para isso, vamos usar as propriedades da álgebra vetorial, como a distributividade e a associatividade. Vamos lá!

Passo 2

Prova da (1):
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma multiplicação de um escalar com o vetor , e depois estamos dividindo esse resultado por . Queremos mostrar que isso é o mesmo que multiplicar com diretamente.
Sabemos que, na álgebra vetorial, a multiplicação de um vetor por um escalar é distributiva em relação à divisão. Ou seja:
Então, a igualdade está provada!

Passo 3

Prova da (3):
Aqui, temos a divisão de uma soma de vetores por um escalar . Queremos mostrar que isso é equivalente à soma das divisões individuais.
Usamos a propriedade distributiva da divisão sobre a adição de vetores:
Portanto, a igualdade está comprovada!

Passo 4

Prova da (4):
Semelhante ao passo anterior, mas agora com subtração. Queremos mostrar que a divisão de uma diferença de vetores por é igual à diferença das divisões individuais.
Aplicando a propriedade distributiva da divisão sobre a subtração:
Assim, a igualdade está correta!

Passo 5

Prova da (5):
Aqui, estamos somando duas frações vetoriais com denominadores diferentes. Queremos combiná-las em uma única fração.
Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é . Multiplicamos cada termo para igualar os denominadores:
Agora, somamos os dois termos:
Portanto, a igualdade está provada!

Passo 6

Prova da (6):
Este caso é similar ao anterior, mas com subtração. Queremos combinar as duas frações vetoriais em uma única fração com denominador comum.
Usamos o mesmo denominador comum :
Agora, subtraímos os dois termos:
Assim, a igualdade está comprovada!

Resposta

Todas as igualdades foram provadas conforme os passos apresentados acima.

Exercícios relacionados

Sejam vetores e . Prove que:
(1) .
(2) .
(3) .
Sejam pontos distintos de uma reta que estejam nesta ordem igualmente espaçados. Sejam e . Determine o que se pede:
(1) em função de e
(5) em função de
(9) em função de e
(2) em função de e
(6) em função de
(10) em função de
(3) em função de
(7) em função de
(11) em função de e
(4) em função de
(8) em função de e
(12) em função de
Dados os vetores e , determinar:
Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base .