Para u e v, vetores a, b, c in R tais que b neq 0 e c neq 0, prove que:
(1) a ub=ab u
(3) u+vb=ubb+vb
(4) u-vb=ub-vb
(5) vb+uc=c v+b ub c
(6) vb-uc=c v-b ub c

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, e alguns números reais a, b, e c, onde b e c são diferentes de zero. Precisamos provar algumas igualdades envolvendo operações com vetores e esses números. Para isso, vamos usar as propriedades da álgebra vetorial, como a distributividade e a associatividade. Vamos lá!

Passo 2

Prova da (1): a ub = ab u
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma multiplicação de um escalar a com o vetor u, e depois estamos dividindo esse resultado por b. Queremos mostrar que isso é o mesmo que multiplicar ab com u diretamente.
Sabemos que, na álgebra vetorial, a multiplicação de um vetor por um escalar é distributiva em relação à divisão. Ou seja:
a ub = ( ab ) u
Então, a igualdade está provada!

Passo 3

Prova da (3): u + vb = ub + vb
Aqui, temos a divisão de uma soma de vetores por um escalar b. Queremos mostrar que isso é equivalente à soma das divisões individuais.
Usamos a propriedade distributiva da divisão sobre a adição de vetores:
u + vb = ub + vb
Portanto, a igualdade está comprovada!

Passo 4

Prova da (4): u - vb = ub - vb
Semelhante ao passo anterior, mas agora com subtração. Queremos mostrar que a divisão de uma diferença de vetores por b é igual à diferença das divisões individuais.
Aplicando a propriedade distributiva da divisão sobre a subtração:
u - vb = ub - vb
Assim, a igualdade está correta!

Passo 5

Prova da (5): vb + uc = c v + b ub c
Aqui, estamos somando duas frações vetoriais com denominadores diferentes. Queremos combiná-las em uma única fração.
Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é b c. Multiplicamos cada termo para igualar os denominadores:
vb = c vb c
uc = b ub c
Agora, somamos os dois termos:
c vb c + b ub c = c v + b ub c
Portanto, a igualdade está provada!

Passo 6

Prova da (6): vb - uc = c v - b ub c
Este caso é similar ao anterior, mas com subtração. Queremos combinar as duas frações vetoriais em uma única fração com denominador comum.
Usamos o mesmo denominador comum b c:
vb = c vb c
uc = b ub c
Agora, subtraímos os dois termos:
c vb c - b ub c = c v - b ub c
Assim, a igualdade está comprovada!

Resposta

Todas as igualdades foram provadas conforme os passos apresentados acima.

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