Para , vetores tais que e , prove que:
(1)
(3)
(4)
(5)
(6)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e alguns números reais , , e , onde e são diferentes de zero. Precisamos provar algumas igualdades envolvendo operações com vetores e esses números. Para isso, vamos usar as propriedades da álgebra vetorial, como a distributividade e a associatividade. Vamos lá!
Passo 2
Prova da (1):
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos uma multiplicação de um escalar com o vetor , e depois estamos dividindo esse resultado por . Queremos mostrar que isso é o mesmo que multiplicar com diretamente.
Sabemos que, na álgebra vetorial, a multiplicação de um vetor por um escalar é distributiva em relação à divisão. Ou seja:
Então, a igualdade está provada!
Passo 3
Prova da (3):
Aqui, temos a divisão de uma soma de vetores por um escalar . Queremos mostrar que isso é equivalente à soma das divisões individuais.
Usamos a propriedade distributiva da divisão sobre a adição de vetores:
Portanto, a igualdade está comprovada!
Passo 4
Prova da (4):
Semelhante ao passo anterior, mas agora com subtração. Queremos mostrar que a divisão de uma diferença de vetores por é igual à diferença das divisões individuais.
Aplicando a propriedade distributiva da divisão sobre a subtração:
Assim, a igualdade está correta!
Passo 5
Prova da (5):
Aqui, estamos somando duas frações vetoriais com denominadores diferentes. Queremos combiná-las em uma única fração.
Para isso, vamos encontrar um denominador comum, que é . Multiplicamos cada termo para igualar os denominadores:
Agora, somamos os dois termos:
Portanto, a igualdade está provada!
Passo 6
Prova da (6):
Este caso é similar ao anterior, mas com subtração. Queremos combinar as duas frações vetoriais em uma única fração com denominador comum.
Usamos o mesmo denominador comum :
Agora, subtraímos os dois termos:
Assim, a igualdade está comprovada!
Resposta
Todas as igualdades foram provadas conforme os passos apresentados acima.