Sejam
e
, vetores. Mostre que:
(4)
.
(4)
Passo 1
Então, a gente tem dois vetores,
e
, e precisa mostrar que o produto interno de
com
é igual à diferença dos quadrados das normas desses vetores, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno e entender como expandir essas expressões passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno é distributivo, o que significa que podemos distribuir os termos quando temos soma ou subtração dentro dos parênteses. Então, vamos expandir
.
Passo 3
Aplicando a distributividade, temos:
Passo 4
Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo,
, é igual ao quadrado da norma do vetor, ou seja,
. O mesmo vale para
.
Passo 5
Além disso, o produto interno é comutativo, o que significa que
. Então, os termos
e
se cancelam.
Passo 6
Substituindo as igualdades que encontramos, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.