Então, a gente tem dois vetores, e , e precisa mostrar que o produto interno de com é igual à diferença dos quadrados das normas desses vetores, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno e entender como expandir essas expressões passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto interno é distributivo, o que significa que podemos distribuir os termos quando temos soma ou subtração dentro dos parênteses. Então, vamos expandir .
Passo 3
Aplicando a distributividade, temos:
Passo 4
Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo, , é igual ao quadrado da norma do vetor, ou seja, . O mesmo vale para .
Passo 5
Além disso, o produto interno é comutativo, o que significa que . Então, os termos e se cancelam.
Passo 6
Substituindo as igualdades que encontramos, temos: