Sejam u e v, vetores. Mostre que:
(4) (u+v) bul<=t(u-v)=|u|^2-|v|^2.

Passo 1

Então, a gente tem dois vetores, u e v, e precisa mostrar que o produto interno de (u + v) com (u - v) é igual à diferença dos quadrados das normas desses vetores, ou seja, |u|^2 - |v|^2. Para resolver isso, vamos usar as propriedades do produto interno e entender como expandir essas expressões passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto interno é distributivo, o que significa que podemos distribuir os termos quando temos soma ou subtração dentro dos parênteses. Então, vamos expandir (u + v) bul<=t (u - v).

Passo 3

Aplicando a distributividade, temos:
(u + v) bul<=t (u - v) = u bul<=t u - u bul<=t v + v bul<=t u - v bul<=t v

Passo 4

Sabemos que o produto interno de um vetor consigo mesmo, u bul<=t u, é igual ao quadrado da norma do vetor, ou seja, |u|^2. O mesmo vale para v bul<=t v = |v|^2.

Passo 5

Além disso, o produto interno é comutativo, o que significa que u bul<=t v = v bul<=t u. Então, os termos -u bul<=t v e +v bul<=t u se cancelam.

Passo 6

Substituindo as igualdades que encontramos, temos:
u bul<=t u - u bul<=t v + v bul<=t u - v bul<=t v = |u|^2 - |v|^2

Resposta

Portanto, mostramos que (u+v) bul<=t(u-v) = |u|^2 - |v|^2.

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