Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente mostrar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação desses vetores pode resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes usados na combinação sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Se temos uma combinação linear dos vetores igual a zero:
Para que os vetores sejam linearmente independentes, a única solução para os coeficientes , e deve ser .
Passo 3
Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso resulta no seguinte sistema de equações para cada componente:
Passo 4
Vamos simplificar o sistema:
Da primeira equação, já sabemos que .
Passo 5
Substituindo na segunda equação:
Passo 6
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 7
Vimos que a única solução possível é . Isso confirma que os vetores não podem ser combinados de outra forma para resultar no vetor zero.
Resposta
Portanto, os vetores , e são linearmente independentes.