Sejam u=(1,2,3), v=(0,1,2) e w=(1,1,1) vetores em k^3𝕜.
© Se z=(0,0,1), mostre que u, v, z são L.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente mostrar que os vetores u = (1,2,3), v = (0,1,2) e z = (0,0,1) são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação desses vetores pode resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes usados na combinação sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Se temos uma combinação linear dos vetores igual a zero:
au + bv + cz = 0
Para que os vetores sejam linearmente independentes, a única solução para os coeficientes a, b e c deve ser a = b = c = 0.

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores dados:
a(1,2,3) + b(0,1,2) + c(0,0,1) = (0,0,0)
Isso resulta no seguinte sistema de equações para cada componente:
a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 = 0 a cdot 2 + b cdot 1 + c cdot 0 = 0 a cdot 3 + b cdot 2 + c cdot 1 = 0

Passo 4

Vamos simplificar o sistema:
a = 0 2a + b = 0 3a + 2b + c = 0
Da primeira equação, já sabemos que a = 0.

Passo 5

Substituindo a = 0 na segunda equação:
2(0) + b = 0 Rightarrow b = 0

Passo 6

Agora, substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação:
3(0) + 2(0) + c = 0 Rightarrow c = 0

Passo 7

Vimos que a única solução possível é a = b = c = 0. Isso confirma que os vetores não podem ser combinados de outra forma para resultar no vetor zero.

Resposta

Portanto, os vetores u, v e z são linearmente independentes.

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