Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente mostrar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação desses vetores pode resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes usados na combinação sejam zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Se temos uma combinação linear dos vetores igual a zero:
Para que os vetores sejam linearmente independentes, a única solução para os coeficientes , e deve ser .
Passo 3
Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso resulta no seguinte sistema de equações para cada componente:
Passo 4
Vamos simplificar o sistema:
a = 0 2a + b = 0 3a + 2b + c = 0
Da primeira equação, já sabemos que a = 0.
Passo 5
Substituindo a = 0 na segunda equação:
2(0) + b = 0 Rightarrow b = 0
Passo 6
Agora, substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação:
3(0) + 2(0) + c = 0 Rightarrow c = 0
Passo 7
Vimos que a única solução possível é a = b = c = 0. Isso confirma que os vetores não podem ser combinados de outra forma para resultar no vetor zero.
Resposta
Portanto, os vetores u, v e z são linearmente independentes.