Sejam e vetores em 𝕜.
© , mostre que são L.I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A questão pede para a gente mostrar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação desses vetores pode resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes usados na combinação sejam zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que vetores são linearmente independentes. Se temos uma combinação linear dos vetores igual a zero:
Para que os vetores sejam linearmente independentes, a única solução para os coeficientes , e deve ser .

Passo 3

Vamos montar essa equação com os vetores dados:
Isso resulta no seguinte sistema de equações para cada componente:

Passo 4

Vamos simplificar o sistema:
Da primeira equação, já sabemos que .

Passo 5

Substituindo na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituindo e na terceira equação:

Passo 7

Vimos que a única solução possível é . Isso confirma que os vetores não podem ser combinados de outra forma para resultar no vetor zero.

Resposta

Portanto, os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Sejam e . Determine, se possível, a matriz tal que .
Sejam e vetores em 𝕜.
(b) são L.D. ou L.I?
Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
a)
b)
c)
d)
f)
Sejam e vetores em 𝕜.
(a) são L.D. ou L.I?