Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
a)
b)
c)
d)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema de equações lineares usando escalonamento. Nosso sistema é:
Vamos precisar usar álgebra linear, mais especificamente o método de escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss), para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema em forma de matriz aumentada:
Essa matriz facilita o processo de escalonamento, permitindo manipular as equações de forma sistemática.
Passo 3
O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal há zeros. Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3.
Para eliminar o da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Calculando:
Então, a nova segunda linha fica:
Passo 4
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da terceira linha:
Calculando:
Então, a nova terceira linha fica:
Passo 5
Agora, nossa matriz aumentada fica assim:
Vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por 2 para facilitar os cálculos:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1.5 e subtraímos da terceira linha:
Calculando:
Então, a nova terceira linha fica:
Passo 7
Agora, nossa matriz aumentada está na forma triangular superior:
Podemos agora resolver de baixo para cima usando substituição retroativa.
Passo 8
Vamos começar pela terceira equação:
Passo 9
Agora, substituímos na segunda equação para encontrar :
Passo 10
Por fim, substituímos e na primeira equação para encontrar :