Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
a) l2 x+y-2 z=10 3 x+2 y+2 z=1 5 x+4 y+3 z=4
b) lx+2 y-z=0 2 x-y+3 z=0 4 x+3 y+z=0
c) lx-y+2 z-w=-1 2 x+y-2 z-2 w=-2 -x+2 y-4 z+w=1 3 x-3 w=-3
d) lx+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3 x+7 y-7 z=5
f) lx+y+z+t=0 x+y+z-t=4 x+y-z+t=-4 x-y+z+t=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema de equações lineares usando escalonamento. Nosso sistema é:
2x + y - 2z = 10 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4
Vamos precisar usar álgebra linear, mais especificamente o método de escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss), para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema em forma de matriz aumentada:
2 & 1 & -2 & | & 10 3 & 2 & 2 & | & 1 5 & 4 & 3 & | & 4
Essa matriz facilita o processo de escalonamento, permitindo manipular as equações de forma sistemática.

Passo 3

O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal há zeros. Vamos começar eliminando o Linha 2 = Linha 2 - (32 times Linha 1) das equações 2 e 3.
Para eliminar o 3 - (32 times 2) = 3 - 3 = 0 2 - (32 times 1) = 2 - 1.5 = 0.5 2 - (32 times -2) = 2 + 3 = 5 1 - (32 times 10) = 1 - 15 = -14 da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por 0 0.5 5 | -14 e subtrair da segunda linha:
Calculando:
Então, a nova segunda linha fica:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - (52 times Linha 1) da terceira linha. Podemos multiplicar a primeira linha por 5 - (52 times 2) = 5 - 5 = 0 4 - (52 times 1) = 4 - 2.5 = 1.5 3 - (52 times -2) = 3 + 5 = 8 4 - (52 times 10) = 4 - 25 = -21 e subtrair da terceira linha:
0 1.5 8 | -21
Calculando:
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 5

Agora, nossa matriz aumentada fica assim:
2 & 1 & -2 & | & 10 0 & 0.5 & 5 & | & -14 0 & 1.5 & 8 & | & -21
Vamos simplificar a segunda linha multiplicando-a por 2 para facilitar os cálculos:
Linha 2 = 2 times Linha 2
Isso resulta em:
0 1 10 | -28

Passo 6

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - (1.5 times Linha 2) da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 1.5 e subtraímos da terceira linha:
1.5 - (1.5 times 1) = 1.5 - 1.5 = 0 8 - (1.5 times 10) = 8 - 15 = -7 -21 - (1.5 times -28) = -21 + 42 = 21
Calculando:
0 0 -7 | 21
Então, a nova terceira linha fica:

Passo 7

Agora, nossa matriz aumentada está na forma triangular superior:
2 & 1 & -2 & | & 10 0 & 1 & 10 & | & -28 0 & 0 & -7 & | & 21
Podemos agora resolver de baixo para cima usando substituição retroativa.

Passo 8

Vamos começar pela terceira equação:
-7z = 21 Rightarrow z = 21-7 Rightarrow z = -3

Passo 9

Agora, substituímos y + 10(-3) = -28 y - 30 = -28 y = -28 + 30 y = 2 na segunda equação para encontrar :

Passo 10

Por fim, substituímos 2x + 2 - 2(-3) = 10 2x + 2 + 6 = 10 2x + 8 = 10 2x = 10 - 8 2x = 2 x = 22 x = 1 e na primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 1, y = 2, z = -3

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