Sejam
e
vetores em
. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para quaisquer vetores
e
no espaço tridimensional (
), a soma deles é a mesma independente da ordem: ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de vetores e a operação de adição de vetores. Precisamos entender como somar vetores e usar as propriedades dessa operação para chegar na conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a adição de vetores. Em
, cada vetor tem três componentes, geralmente representadas como
para
e
para
. A soma de dois vetores é feita somando componente por componente. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos escrever a soma na ordem inversa, ou seja,
:
Passo 4
Observando as duas somas:
Vemos que em cada componente, a ordem da adiç��o não altera o resultado porque a soma de números reais é comutativa. Ou seja,
para cada
.
Passo 5
Portanto, como todas as componentes são iguais independente da ordem, concluímos que os vetores somam da mesma forma:
Resposta
Mostramos que
utilizando a comutatividade da soma das componentes dos vetores. Assim, a soma de vetores é comutativa em
.