Sejam u, v e w vetores em E^3. Mostre que:
u+v=v+u

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, para quaisquer vetores u e v no espaço tridimensional ( E^3), a soma deles é a mesma independente da ordem: ou seja, u + v = v + u. Para resolver isso, vamos usar os conceitos básicos de vetores e a operação de adição de vetores. Precisamos entender como somar vetores e usar as propriedades dessa operação para chegar na conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a adição de vetores. Em E^3, cada vetor tem três componentes, geralmente representadas como (u1, u2, u3) para u e (v1, v2, v3) para v. A soma de dois vetores é feita somando componente por componente. Ou seja:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)

Passo 3

Agora, vamos escrever a soma na ordem inversa, ou seja, v + u:
v + u = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3)

Passo 4

Observando as duas somas:
u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3)
v + u = (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3)
Vemos que em cada componente, a ordem da adiç��o não altera o resultado porque a soma de números reais é comutativa. Ou seja, ui + vi = vi + ui para cada i = 1, 2, 3.

Passo 5

Portanto, como todas as componentes são iguais independente da ordem, concluímos que os vetores somam da mesma forma:
u + v = v + u

Resposta

Mostramos que u + v = v + u utilizando a comutatividade da soma das componentes dos vetores. Assim, a soma de vetores é comutativa em E^3.

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