Sejam u=(x1, x2) e v=(y1, y2) vetores genéricos do R^2 e
c) Qual a matriz M que leva ao produto interno usual do R^2 ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores genéricos no R^2, ou seja, no plano bidimensional: u = (x1, x2) e v = (y1, y2). A pergunta quer saber qual matriz M podemos usar para calcular o produto interno usual desses vetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é definido o produto interno no R^2 e como isso se relaciona com uma matriz.

Passo 2

O produto interno usual no R^2, também conhecido como produto escalar, é definido assim:
u cdot v = x1y1 + x2y2
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, queremos expressar esse produto interno utilizando uma matriz M. Sabemos que o produto interno pode ser representado como:
u cdot v = u^T M v
Onde u^T é a transposta de u, o que transforma o vetor linha em vetor coluna para facilitar a multiplicação matricial.

Passo 4

Vamos expandir a expressão u^T M v:
u^T M v = x1 & x2 m11 & m12 m21 & m22 y1 y2
Multiplicando as matrizes, obtemos:
u^T M v = x1m11y1 + x1m12y2 + x2m21y1 + x2m22y2

Passo 5

Para que essa expressão seja igual ao produto interno usual x1y1 + x2y2, precisamos que os coeficientes das multiplicações correspondentes sejam iguais. Isso nos dá as seguintes equações:
m11 &= 1 m12 &= 0 m21 &= 0 m22 &= 1

Resposta

A matriz M que leva ao produto interno usual do R^2 é a matriz identidade:
M = 1 & 0 0 & 1

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