Sejam
e
vetores genéricos do
c) Qual a matriz M que leva ao produto interno usual do
?
c) Qual a matriz M que leva ao produto interno usual do
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores genéricos no
, ou seja, no plano bidimensional:
e
. A pergunta quer saber qual matriz
podemos usar para calcular o produto interno usual desses vetores. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é definido o produto interno no
e como isso se relaciona com uma matriz.
Passo 2
O produto interno usual no
, também conhecido como produto escalar, é definido assim:
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes dos vetores e somamos os resultados.
Passo 3
Agora, queremos expressar esse produto interno utilizando uma matriz
. Sabemos que o produto interno pode ser representado como:
Onde
é a transposta de
, o que transforma o vetor linha em vetor coluna para facilitar a multiplicação matricial.
Passo 4
Vamos expandir a expressão
:
Multiplicando as matrizes, obtemos:
Passo 5
Para que essa expressão seja igual ao produto interno usual
, precisamos que os coeficientes das multiplicações correspondentes sejam iguais. Isso nos dá as seguintes equações:
Resposta
A matriz
que leva ao produto interno usual do
é a matriz identidade: