Sejam
e
em
. Mostre que
é uma base de
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
, que basicamente é o conjunto de todos os vetores com duas componentes. A questão nos dá um conjunto
e nos pede para mostrar que esse conjunto é uma base de
. Depois, precisamos calcular as coordenadas dos vetores
e
em relação a essa base
.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, independência linear e combinação linear. Também vamos usar matrizes para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é uma base de
. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
- Os vetores em
são linearmente independentes. - Eles geram todo o espaço
(ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de ).
Passo 3
Vamos começar verificando a independência linear. Suponha que exista uma combinação linear dos vetores de
que resulte no vetor nulo:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Da segunda equação,
Logo,
. Como a única solução é a trivial, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Agora, vamos ver se eles geram todo o espaço
. Como
é 2-dimensional e temos 2 vetores linearmente independentes, automaticamente eles formam uma base. Mas para ficar mais claro, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Resolvendo para
e
, sempre teremos uma solução única.
Passo 6
Com isso, concluímos que
é de fato uma base de
porque satisfaz os dois critérios: é linearmente independente e gera todo o espaço.
Passo 7
Agora, vamos calcular as coordenadas de
em relação à base
, ou seja, encontrar
.
Temos:
Isso resulta no sistema:
Passo 8
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,
.
Passo 9
Portanto, as coordenadas de
em relação à base
são:
Passo 10
Por fim, vamos calcular
. De forma similar:
Isso dá o sistema:
Passo 11
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Substituindo na primeira:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
E, portanto:
Resposta
As coordenadas dos vetores na base
são: