Sejam V=F^2 e alpha=(2,1),(1,-1) em V. Mostre que alpha é uma base de V e calcule [(4,-1)]alpha e[(x, y)]alpha.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial V = F^2, que basicamente é o conjunto de todos os vetores com duas componentes. A questão nos dá um conjunto alpha = (2,1), (1,-1) e nos pede para mostrar que esse conjunto é uma base de V. Depois, precisamos calcular as coordenadas dos vetores (4,-1) e (x,y) em relação a essa base alpha.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, independência linear e combinação linear. Também vamos usar matrizes para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que alpha é uma base de V. Para isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. Os vetores em alpha são linearmente independentes.
  2. Eles geram todo o espaço V (ou seja, qualquer vetor em V pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de alpha).

Passo 3

Vamos começar verificando a independência linear. Suponha que exista uma combinação linear dos vetores de alpha que resulte no vetor nulo:
c1(2,1) + c2(1,-1) = (0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
2c1 + c2 = 0 c1 - c2 = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, c1 = c2. Substituindo na primeira:
2c1 + c1 = 0 Rightarrow 3c1 = 0 Rightarrow c1 = 0
Logo, c2 = 0. Como a única solução é a trivial, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Agora, vamos ver se eles geram todo o espaço V. Como V é 2-dimensional e temos 2 vetores linearmente independentes, automaticamente eles formam uma base. Mas para ficar mais claro, qualquer vetor (a,b) em V pode ser escrito como:
(a,b) = c1(2,1) + c2(1,-1)
Resolvendo para c1 e c2, sempre teremos uma solução única.

Passo 6

Com isso, concluímos que alpha é de fato uma base de V porque satisfaz os dois critérios: é linearmente independente e gera todo o espaço.

Passo 7

Agora, vamos calcular as coordenadas de (4,-1) em relação à base alpha, ou seja, encontrar [(4,-1)]alpha.
Temos:
(4,-1) = c1(2,1) + c2(1,-1)
Isso resulta no sistema:
2c1 + c2 = 4 c1 - c2 = -1

Passo 8

Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação: c1 = c2 - 1.
Substituindo na primeira:
2(c2 - 1) + c2 = 4 2c2 - 2 + c2 = 4 3c2 = 6 Rightarrow c2 = 2
Então, c1 = 2 - 1 = 1.

Passo 9

Portanto, as coordenadas de (4,-1) em relação à base alpha são:
[(4,-1)]alpha = 1 2

Passo 10

Por fim, vamos calcular [(x,y)]alpha. De forma similar:
(x,y) = c1(2,1) + c2(1,-1)
Isso dá o sistema:
2c1 + c2 = x c1 - c2 = y

Passo 11

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: c1 = y + c2.
Substituindo na primeira:
2(y + c2) + c2 = x 2y + 2c2 + c2 = x 3c2 = x - 2y Rightarrow c2 = x - 2y3
E, portanto:
c1 = y + x - 2y3 = 3y + x - 2y3 = x + y3

Resposta

As coordenadas dos vetores na base alpha são:
[(4,-1)]alpha = 1 2 e [(x,y)]alpha = dfracx + y3 dfracx - 2y3

Exercícios relacionados