Sejam
e o subconjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o subespaço
gerado pelo conjunto
dentro de
, que é o conjunto de todas as matrizes
. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e combinação linear. Vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como formar o subespaço gerado por um conjunto de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dado um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso), uma combinação linear é uma soma dessas matrizes multiplicadas por escalares. No nosso caso, se
, onde:
Então, uma combinação linear de
e
seria:
onde
e
são escalares (números reais, por exemplo).
Passo 3
Agora, para determinar
, queremos todas as possíveis combinações lineares dessas duas matrizes. Ou seja, queremos descrever o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas na forma
. Vamos calcular isso explicitamente:
Passo 4
Portanto,
consiste em todas as matrizes da forma:
onde
e
são quaisquer números reais. Isso define um subespaço de
porque:
- A combinação linear de duas matrizes em
ainda estará em . - A adição de matrizes e a multiplicação por escalar respeitam as propriedades de fechamento necessárias para um subespaço vetorial.
Passo 5
Para resumir, o subespaço
é o conjunto de todas as matrizes
que podem ser formadas combinando linearmente as matrizes
e
com quaisquer escalares
e
. Isso significa que
é uma reta ou um plano dentro do espaço maior
, dependendo de como as matrizes
e
se relacionam (se são linearmente independentes, por exemplo).
Resposta
O subespaço
é o conjunto de todas as matrizes
da forma
onde
e
são números reais.