Sejam V=M(2,2) e o subconjunto
A=[ll -1 & 2 -2 & 3 ],[cc 3 & -1 1 & 1 ] Determine o subespaço G(A) ç

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o subespaço gerado pelo conjunto dentro de , que é o conjunto de todas as matrizes . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e combinação linear. Vamos precisar entender o que é uma combinação linear e como formar o subespaço gerado por um conjunto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Dado um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso), uma combinação linear é uma soma dessas matrizes multiplicadas por escalares. No nosso caso, se A1 = -1 & 2 -2 & 3 , A2 = 3 & -1 1 & 1 , onde:
c1 A1 + c2 A2
Então, uma combinação linear de e seria:
onde e são escalares (números reais, por exemplo).

Passo 3

Agora, para determinar c1 -1 & 2 -2 & 3 + c2 3 & -1 1 & 1 = - c1 + 3 c2 & 2 c1 - c2 -2 c1 + c2 & 3 c1 + c2 , queremos todas as possíveis combinações lineares dessas duas matrizes. Ou seja, queremos descrever o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas na forma . Vamos calcular isso explicitamente:

Passo 4

Portanto, - c1 + 3 c2 & 2 c1 - c2 -2 c1 + c2 & 3 c1 + c2 consiste em todas as matrizes da forma:
onde e são quaisquer números reais. Isso define um subespaço de porque:
  1. A combinação linear de duas matrizes em ainda estará em .
  2. A adição de matrizes e a multiplicação por escalar respeitam as propriedades de fechamento necessárias para um subespaço vetorial.

Passo 5

Para resumir, o subespaço é o conjunto de todas as matrizes que podem ser formadas combinando linearmente as matrizes e com quaisquer escalares e . Isso significa que é uma reta ou um plano dentro do espaço maior , dependendo de como as matrizes e se relacionam (se são linearmente independentes, por exemplo).

Resposta

O subespaço - c1 + 3 c2 & 2 c1 - c2 -2 c1 + c2 & 3 c1 + c2 é o conjunto de todas as matrizes da forma
onde e são números reais.

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