Use a regra de Cramer, se possível, para resolver os sistemas lineares. lx+y+z=1 -2 x+y=0 -4 x+z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A matéria que estamos lidando aqui é sistemas lineares, e para aplicar a Regra de Cramer, precisamos saber se o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero. Se for, dá pra resolver o sistema direitinho. Vamos precisar montar a matriz dos coeficientes e calcular alguns determinantes para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais organizada, deixando claro os coeficientes de cada variável:
x + y + z = 1 -2x + y + 0z = 0 -4x + 0y + z = 0
Assim, podemos identificar os coeficientes de cada variável em cada equação.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 0 -4 & 0 & 1 , B = 1 0 0 e o vetor das constantes :

Passo 4

Para a Regra de Cramer funcionar, o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (-2 cdot 1 - 0 cdot (-4)) + 1 cdot (-2 cdot 0 - 1 cdot (-4)) precisa ser diferente de zero. Vamos calcular det(A) = 1 cdot (1) - 1 cdot (-2) + 1 cdot (4) :
det(A) = 1 + 2 + 4 = 7
Como , podemos aplicar a Regra de Cramer.

Passo 5

Agora, vamos encontrar Ax = 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , det(Ax) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 0) = 1 e Ay = 1 & 1 & 1 -2 & 0 & 0 -4 & 0 & 1 . Para isso, substituímos a coluna correspondente a cada variável pelo vetor det(Ay) = 1 cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 0) - 1 cdot (-2 cdot 1 - 0 cdot (-4)) + 1 cdot (-2 cdot 0 - 0 cdot (-4)) = 2 .
Para Az = 1 & 1 & 1 -2 & 1 & 0 -4 & 0 & 0 :
det(Az) = 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) - 1 cdot (-2 cdot 0 - 0 cdot (-4)) + 1 cdot (-2 cdot 0 - 1 cdot (-4)) = 4
Para :
Para :

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra de Cramer para encontrar x = det(Ax)det(A) = 17 , y = det(Ay)det(A) = 27 e z = det(Az)det(A) = 47 :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = 17, y = 27, z = 47

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