Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos:
1+2 x-x^2, 2-x+3 x^2, 3-4 x+7 x^2 subset P2

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se o conjunto de polinômios 1 + 2x - x^2, 2 - x + 3x^2, 3 - 4x + 7x^2 pertencente ao espaço P2 é linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Para isso, vamos utilizar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Precisamos montar um sistema de equações onde uma combinação linear desses polinômios iguala o polinômio nulo e verificar se a única solução é a trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Primeiro, representamos cada polinômio em termos de seus coeficientes:
1 + 2x - x^2 2 - x + 3x^2 3 - 4x + 7x^2
Podemos escrever esses polinômios como vetores de coeficientes:
1 2 3 , 2 -1 -4 , -1 3 7

Passo 3

Agora, montamos uma combinação linear igual a zero:
a(1 + 2x - x^2) + b(2 - x + 3x^2) + c(3 - 4x + 7x^2) = 0
Isso resulta em:
(a + 2b + 3c) + (2a - b - 4c)x + (-a + 3b + 7c)x^2 = 0
Como isso deve ser igual ao polinômio nulo, os coeficientes de cada termo devem ser iguais a zero:
a + 2b + 3c = 0 2a - b - 4c = 0 -a + 3b + 7c = 0

Passo 4

Vamos montar a matriz aumentada do sistema:
1 & 2 & 3 & | & 0 2 & -1 & -4 & | & 0 -1 & 3 & 7 & | & 0
Aplicaremos operações de linha para resolver o sistema.

Passo 5

Primeiro, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
L2 = L2 - 2 times L1 Rightarrow 0z = -5
Ao fazer isso, obtemos uma contradição, pois a equação resultante é impossível de ser satisfeita.

Passo 6

Essa contradição indica que o sistema possui apenas a solução trivial: a = b = c = 0. Portanto, os polinômios são linearmente independentes.

Resposta

Os polinômios 1 + 2x - x^2, 2 - x + 3x^2, 3 - 4x + 7x^2 são linearmente independentes.

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