Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear
que é bijetora
Existe uma transformação linear
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos verificar se existe uma transformação linear
que seja bijetora. Para isso, vamos precisar entender transformações lineares, o que significa ser bijetora e analisar as dimensões dos espaços envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores
e escalar
:
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa uma transformação ser bijetora. Uma transformação é bijetora se ela é:
- Injetora: Nenhuma coisa no espaço de chegada é mapeada por mais de uma coisa no espaço de partida. Ou seja,
implica . - Sobrejetora: Cada elemento no espaço de chegada é imagem de pelo menos um elemento no espaço de partida.
Se uma transformação é bijetora, ela estabelece uma correspondência um a um entre os dois espaços.
Passo 4
Vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos:
-
é um espaço vetorial de dimensão 2. -
é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que tem uma dimensão 3 (base formada, por exemplo, por ).
Passo 5
De acordo com o Teorema da Dimensão, para existir uma transformação linear bijetora entre dois espaços vetoriais, eles devem ter a mesma dimensão.
Aqui,
tem dimensão 2 e
tem dimensão 3. Como as dimensões são diferentes, não é possível que exista uma transformação linear que seja ao mesmo tempo injetora e sobrejetora entre esses espaços.
Resposta
A afirmação é falsa, pois os espaços
e
têm dimensões diferentes (2 e 3, respectivamente), tornando impossível a existência de uma transformação linear bijetora entre eles.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcular:
a)
a)
(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é
, e (ii) para um lado direito geral
?
Dados os vetores
e
, calcular:
d)
d)
Sejam
vetores em um espaço vetorial
e
uma transformação linear.
Se é linearmente independente em
, prove que
é linearmente independente em
.
Se