Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
Existe uma transformação linear T: R^2 P2(R) que é bijetora

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Precisamos verificar se existe uma transformação linear que seja bijetora. Para isso, vamos precisar entender transformações lineares, o que significa ser bijetora e analisar as dimensões dos espaços envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e escalar T(cu) = cT(u) :

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa uma transformação ser bijetora. Uma transformação é bijetora se ela é:
  • Injetora: Nenhuma coisa no espaço de chegada é mapeada por mais de uma coisa no espaço de partida. Ou seja, implica .
  • Sobrejetora: Cada elemento no espaço de chegada é imagem de pelo menos um elemento no espaço de partida.
Se uma transformação é bijetora, ela estabelece uma correspondência um a um entre os dois espaços.

Passo 4

Vamos analisar as dimensões dos espaços envolvidos:
  • é um espaço vetorial de dimensão 2.
  • é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que tem uma dimensão 3 (base formada, por exemplo, por ).

Passo 5

De acordo com o Teorema da Dimensão, para existir uma transformação linear bijetora entre dois espaços vetoriais, eles devem ter a mesma dimensão.
Aqui, tem dimensão 2 e tem dimensão 3. Como as dimensões são diferentes, não é possível que exista uma transformação linear que seja ao mesmo tempo injetora e sobrejetora entre esses espaços.

Resposta

A afirmação é falsa, pois os espaços e têm dimensões diferentes (2 e 3, respectivamente), tornando impossível a existência de uma transformação linear bijetora entre eles.

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