Verifique se os vetores abaixo sâo ou nâo combinações lineares de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o vetor
pode ser formado usando combinações lineares dos vetores
e
. Isso quer dizer que queremos saber se existe algum jeito de multiplicar
e
por certos números e somar os resultados para chegar no vetor dado. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando os componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, se temos vetores
e
, uma combinação linear deles é
, onde
e
são números que podem ser positivos, negativos ou zero. Nosso objetivo é encontrar esses números
e
tal que:
Passo 3
Vamos quebrar isso em componentes para facilitar. Isso nos dá três equações:
- Para a primeira coordenada:
- Para a segunda coordenada:
- Para a terceira coordenada:
Passo 4
Vamos começar resolvendo a primeira equação para encontrar
:
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar
:
Passo 6
Por fim, vamos verificar se esses valores de
e
satisfazem a terceira equação:
Mas a terceira coordenada do vetor dado é
, e
. Isso significa que não há valores de
e
que funcionem para as três equações ao mesmo tempo.
Resposta
Não, o vetor
não é uma combinação linear dos vetores
e
.