Verifique se os vetores abaixo sâo ou nâo combinações lineares de v=(12,14,1) e w= (0,2,-3). (48,50,-8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o vetor (48,50,-8) pode ser formado usando combinações lineares dos vetores v = (12,14,1) e w = (0,2,-3). Isso quer dizer que queremos saber se existe algum jeito de multiplicar v e w por certos números e somar os resultados para chegar no vetor dado. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações usando os componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Basicamente, se temos vetores v e w, uma combinação linear deles é a cdot v + b cdot w, onde a e b são números que podem ser positivos, negativos ou zero. Nosso objetivo é encontrar esses números a e b tal que:
a cdot (12,14,1) + b cdot (0,2,-3) = (48,50,-8)

Passo 3

Vamos quebrar isso em componentes para facilitar. Isso nos dá três equações:
  1. Para a primeira coordenada: 12a + 0b = 48
  2. Para a segunda coordenada: 14a + 2b = 50
  3. Para a terceira coordenada: 1a - 3b = -8

Passo 4

Vamos começar resolvendo a primeira equação para encontrar a:
12a = 48 a = 4812 a = 4

Passo 5

Agora que sabemos que a = 4, vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar b:
14(4) + 2b = 50 56 + 2b = 50 2b = 50 - 56 2b = -6 b = -62 b = -3

Passo 6

Por fim, vamos verificar se esses valores de a e b satisfazem a terceira equação:
1(4) - 3(-3) = 4 + 9 = 13
Mas a terceira coordenada do vetor dado é -8, e 13 neq -8. Isso significa que não há valores de a e b que funcionem para as três equações ao mesmo tempo.

Resposta

Não, o vetor (48,50,-8) não é uma combinação linear dos vetores v = (12,14,1) e w = (0,2,-3).

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