Sejam os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2). Determinar um vetor que seja
b) ortogonal a u e v e unitário

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (1, -1, -4) e v = (3, 2, -2). A tarefa aqui é encontrar um vetor que seja ortogonal (ou seja, perpendicular) tanto a u quanto a v e que seja unitário (um vetor com comprimento 1). Para isso, vamos precisar usar o produto vetorial e a normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, para achar um vetor que seja ortogonal a ambos u e v, a gente pode usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é:
u times v = (u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1)
Vamos calcular isso com nossos vetores.

Passo 3

Aplicando a fórmula:
u times v = ((-1)(-2) - (-4)(2), (-4)(3) - (1)(-2), (1)(2) - (-1)(3))
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira coordenada:
(-1)(-2) - (-4)(2) = 2 + 8 = 10
  1. Segunda coordenada:
(-4)(3) - (1)(-2) = -12 + 2 = -10
  1. Terceira coordenada:
(1)(2) - (-1)(3) = 2 + 3 = 5
Então, temos:
u times v = (10, -10, 5)

Passo 4

Agora que temos o vetor perpendicular (10, -10, 5), precisamos torná-lo unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. Para isso, vamos normalizar o vetor dividindo cada componente pelo seu comprimento (magnitude).
A fórmula para a magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Vamos calcular a magnitude de (10, -10, 5).

Passo 5

Calculando a magnitude:
|u times v| = raiz10^2 + (-10)^2 + 5^2 = raiz100 + 100 + 25 = raiz225 = 15
Então, a magnitude é 15.

Passo 6

Agora, vamos normalizar o vetor dividindo cada componente por 15:
Vetor unitário = ( 1015, -1015, 515 ) = ( 23, -23, 13 ) á

Resposta

O vetor unitário ortogonal a u e v é ( dfrac23, dfrac-23, dfrac13 ).

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