Sejam os vetores e . Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, temos que encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto misto, que envolve o produto escalar e o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores e . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por e .
Usando a fórmula do produto vetorial:
Calculando o determinante:
v times w = i((-1)(1) - (1)(2)) - j((3)(1) - (1)(1)) + k((3)(2) - (-1)(1))
v times w = i(-1 - 2) - j(3 - 1) + k(6 + 1)
v times w = -3i - 2j + 7k
v times w = (-3, -2, 7)
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor u e o resultado do produto vetorial que acabamos de encontrar. O produto escalar nos dá uma medida que, no contexto do produto misto, está relacionada ao volume do paralelepípedo.
u cdot (v times w) = (1)(-3) + (4)(-2) + (-2)(7)
u cdot (v times w) = -3 - 8 - 14
u cdot (v times w) = -25
Passo 4
O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto que calculamos: