Sejam os vetores u=(1,4,-2), v=(3,-1,1) e w=(1,2,1). Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u, v e w.

Passo 1

Beleza, temos que encontrar o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (1, 4, -2), v = (3, -1, 1) e w = (1, 2, 1). Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto misto, que envolve o produto escalar e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre os vetores v e w. O produto vetorial v times w nos dá um vetor perpendicular aos dois, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por v e w.
Usando a fórmula do produto vetorial:
v times w = i & j & k 3 & -1 & 1 1 & 2 & 1
Calculando o determinante:
v times w = i((-1)(1) - (1)(2)) - j((3)(1) - (1)(1)) + k((3)(2) - (-1)(1))
v times w = i(-1 - 2) - j(3 - 1) + k(6 + 1)
v times w = -3i - 2j + 7k
v times w = (-3, -2, 7)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre o vetor u e o resultado do produto vetorial que acabamos de encontrar. O produto escalar nos dá uma medida que, no contexto do produto misto, está relacionada ao volume do paralelepípedo.
u cdot (v times w) = (1)(-3) + (4)(-2) + (-2)(7)
u cdot (v times w) = -3 - 8 - 14
u cdot (v times w) = -25

Passo 4

O volume do paralelepípedo é o valor absoluto do produto misto que calculamos:
Volume = |u cdot (v times w)| = |-25| = 25

Resposta

O volume do paralelepípedo é 25 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados