Sejam os vetores u=(1,-1,-4) e v=(3,2,-2). Determinar um vetor que seja
d) ortogonal a u e v e com última coordenada igual a 7 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, u = (1, -1, -4) e v = (3, 2, -2), e precisamos encontrar um terceiro vetor que seja ortogonal a esses dois e que tenha a última coordenada igual a 7. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, para encontrar um vetor que seja ortogonal a u e v, usamos o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 )
Vamos calcular isso para nossos vetores:
u times v = ( (-1)(-2) - (-4)(2), (-4)(3) - (1)(-2), (1)(2) - (-1)(3) )
Simplificando cada componente:
u times v = (2 + 8, -12 + 2, 2 + 3) = (10, -10, 5)
Então, o produto vetorial u times v = (10, -10, 5) nos dá um vetor que é ortogonal a ambos u e v.

Passo 3

Agora, queremos que a última coordenada do vetor resultante seja 7. Atualmente, a última coordenada é 5. Para ajustar isso, vamos encontrar um fator de escala que multiplique todo o vetor para que a terceira componente seja 7.
Seja k o fator de escala:
5k = 7 implies k = 75

Passo 4

Multiplicamos cada componente do vetor u times v por k = 75:
w = k cdot (10, -10, 5) = (10 cdot 75, -10 cdot 75, 5 cdot 75)
Simplificando:
w = (14, -14, 7)

Resposta

O vetor desejado é w = (14, -14, 7).

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