Verifique se é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes com a primeira linha fixa como e a segunda linha variando com e sendo números reais. O objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar saber os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles a .

Passo 2

Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero (no caso, a matriz zero) deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto e somá-las, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é a matriz:
No entanto, em , todas as matrizes têm a primeira linha . Isso significa que a matriz zero não está em , porque .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Mesmo que não contenha o vetor zero, vamos verificar se está fechado sob adição. Pegamos duas matrizes quaisquer de :
Somando-as:
A primeira linha de é , que não é . Portanto, não pertence a .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar uma matriz de por um escalar :
A primeira linha agora é . A menos que , essa linha não será . Logo, não pertence a para .

Resposta

Como não contém a matriz zero, não está fechado sob adição e nem sob multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .

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Seja a matriz
Verificar se é invertível.
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F). Justifique sua resposta com propriedades ou contra-exemplos.
( ) Se , então é matriz simétrica.
Sejam os vetores e em :
O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
Verifique se é gerado por .