Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes com a primeira linha fixa como e a segunda linha variando com e sendo números reais. O objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais. Para isso, vamos precisar saber os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles a .
Passo 2
Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
Contém o vetor zero: O vetor zero (no caso, a matriz zero) deve estar no conjunto.
Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto e somá-las, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é a matriz:
No entanto, em , todas as matrizes têm a primeira linha . Isso significa que a matriz zero não está em , porque .
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Mesmo que não contenha o vetor zero, vamos verificar se está fechado sob adição. Pegamos duas matrizes quaisquer de :
Somando-as:
A primeira linha de é , que não é . Portanto, não pertence a .
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar uma matriz de por um escalar :
A primeira linha agora é . A menos que , essa linha não será . Logo, não pertence a para .
Resposta
Como não contém a matriz zero, não está fechado sob adição e nem sob multiplicação por escalar, concluímos que não é um subespaço vetorial de .