Verifique se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
de matrizes
com a primeira linha fixa como
e a segunda linha variando com
e
sendo números reais. O objetivo é verificar se esse conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o espaço de todas as matrizes
com entradas reais. Para isso, vamos precisar saber os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar cada um deles a
.
Passo 2
Um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor zero: O vetor zero (no caso, a matriz zero) deve estar no conjunto.
- Fechado sob adição: Se você pegar duas matrizes no conjunto e somá-las, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é a matriz:
O vetor zero em
No entanto, em
, todas as matrizes têm a primeira linha
. Isso significa que a matriz zero não está em
, porque
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Mesmo que não contenha o vetor zero, vamos verificar se está fechado sob adição. Pegamos duas matrizes quaisquer de
:
Mesmo que
Somando-as:
A primeira linha de
é
, que não é
. Portanto,
não pertence a
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar uma matriz de por um escalar
:
Vamos multiplicar uma matriz de
A primeira linha agora é
. A menos que
, essa linha não será
. Logo,
não pertence a
para
.
Resposta
Como
não contém a matriz zero, não está fechado sob adição e nem sob multiplicação por escalar, concluímos que
não é um subespaço vetorial de
.