Sejam os vetores u, v e w. Prove que: Os vetores u, v e w são LI se, e somente se, os vetores u1=u+v, u2=u-w e u u3=v-w são LI.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três vetores: u, v e w. A gente precisa provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI) se, e somente se, outros três vetores formados por combinações deles — u1 = u + v, u2 = u - w e u3 = v - w — também são LI. Para resolver isso, vamos revisar o que significa vetores serem linearmente independentes e como podemos relacionar esses dois conjuntos de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos au + bv + cw = 0, então necessariamente a = b = c = 0.

Passo 3

Vamos começar provando a primeira parte: se u, v e w são LI, então u1, u2 e u3 também são LI.
Assumimos que u, v e w são LI. Precisamos mostrar que se k1u1 + k2u2 + k3u3 = 0, então k1 = k2 = k3 = 0.
Substituindo as definições de u1, u2 e u3, temos:
k1(u + v) + k2(u - w) + k3(v - w) = 0
Distribuindo os coeficientes:
k1u + k1v + k2u - k2w + k3v - k3w = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(k1 + k2)u + (k1 + k3)v + (-k2 - k3)w = 0

Passo 4

Como u, v e w são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
k1 + k2 = 0 k1 + k3 = 0 - k2 - k3 = 0
Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: k1 = -k2.
  2. Da segunda equação: k1 = -k3.
  3. Substituindo k1 = -k2 na terceira equação:
    -(-k2) - k3 = 0 Rightarrow k2 - k3 = 0 Rightarrow k2 = k3.
Como k1 = -k2 e k2 = k3, então k1 = -k3.
Mas da segunda equação, temos k1 = -k3, o que confirma que todas as equações são satisfeitas apenas quando k1 = k2 = k3 = 0.

Passo 5

Agora vamos provar a segunda parte: se u1, u2 e u3 são LI, ent��o u, v e w também são LI.
Assumimos que u1, u2 e u3 são LI. Precisamos mostrar que se au + bv + cw = 0, então a = b = c = 0.
Para isso, vamos expressar u, v e w em termos de u1, u2 e u3. A partir das definições:
u1 = u + v u2 = u - w u3 = v - w
Vamos resolver esse sistema para expressar u, v e w.

Passo 6

Primeiro, da equação de u1:
u = u1 - v
Da equação de u3:
v = u3 + w
Agora substituímos v na expressão de u:
u = u1 - (u3 + w) = u1 - u3 - w
Das equações de u2:
u2 = u - w Rightarrow w = u - u2
Substituindo w na expressão de u:
u = u1 - u3 - (u - u2) = u1 - u3 - u + u2
Reorganizando:
2u = u1 + u2 - u3 Rightarrow u = 12(u1 + u2 - u3)

Passo 7

Agora temos expressões para u, v e w em termos de u1, u2 e u3. Vamos substituir na equação au + bv + cw = 0:
a(12(u1 + u2 - u3)) + b(u3 + w) + c(u - u2) = 0
Porém, isso pode ficar complicado, então vamos simplificar de outra forma usando a relação que já estabelecemos.
Sabemos que:
u = 12(u1 + u2 - u3) v = u3 + w w = u - u2
Substituindo u em w:
w = 12(u1 + u2 - u3) - u2 = 12u1 - 12u3 - 12u2

Passo 8

Agora, retornando à equação au + bv + cw = 0 e substituindo as expressões encontradas:
a(12(u1 + u2 - u3)) + b(u3 + w) + c(12u1 - 12u3 - 12u2) = 0
Simplificando os coeficientes:
a2u1 + a2u2 - a2u3 + bu3 + bw + c2u1 - c2u3 - c2u2 = 0
Agrupando termos semelhantes:
(a2 + c2)u1 + (a2 - c2)u2 + (-a2 + b - c2)u3 + bw = 0

Passo 9

Como u1, u2 e u3 são LI, os coeficientes de cada um devem ser zero:
a2 + c2 = 0 a2 - c2 = 0 -a2 + b - c2 = 0
Vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: a + c = 0.
  2. Da segunda equação: a - c = 0.
Somando as duas equações: 2a = 0 Rightarrow a = 0.
Substituindo a = 0 na primeira equação: 0 + c = 0 Rightarrow c = 0.
Agora, da terceira equação: -02 + b - 02 = 0 Rightarrow b = 0.

Passo 10

Conseguimos mostrar que a = b = c = 0, o que prova que u, v e w são LI quando u1, u2 e u3 são LI. Assim, concluímos que os dois conjuntos de vetores são linearmente independentes um se o outro for.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes se, e somente se, os vetores u1, u2 e u3 também forem linearmente independentes.

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