Sejam os vetores , e . Prove que: Os vetores e são LI se, e somente se, os vetores e são LI.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três vetores: , e . A gente precisa provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI) se, e somente se, outros três vetores formados por combinações deles — , e — também são LI. Para resolver isso, vamos revisar o que significa vetores serem linearmente independentes e como podemos relacionar esses dois conjuntos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos , então necessariamente .
Passo 3
Vamos começar provando a primeira parte: se , e são LI, então , e também são LI.
Assumimos que , e são LI. Precisamos mostrar que se , então .
Substituindo as definições de , e , temos:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Como , e são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Como u1, u2 e u3 são LI, os coeficientes de cada um devem ser zero:
a2 + c2 = 0 a2 - c2 = 0 -a2 + b - c2 = 0
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: a + c = 0.
Da segunda equação: a - c = 0.
Somando as duas equações: 2a = 0Rightarrowa = 0.
Substituindo a = 0 na primeira equação: 0 + c = 0Rightarrowc = 0.
Agora, da terceira equação: -02 + b - 02 = 0Rightarrowb = 0.
Passo 10
Conseguimos mostrar que a = b = c = 0, o que prova que u, v e w são LI quando u1, u2 e u3 são LI. Assim, concluímos que os dois conjuntos de vetores são linearmente independentes um se o outro for.
Resposta
Os vetores u, v e w são linearmente independentes se, e somente se, os vetores u1, u2 e u3 também forem linearmente independentes.