Sejam os vetores , e . Prove que: Os vetores e são LI se, e somente se, os vetores e são LI.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos três vetores: , e . A gente precisa provar que esses três vetores são linearmente independentes (LI) se, e somente se, outros três vetores formados por combinações deles — , e — também são LI. Para resolver isso, vamos revisar o que significa vetores serem linearmente independentes e como podemos relacionar esses dois conjuntos de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos , então necessariamente .
Passo 3
Vamos começar provando a primeira parte: se , e são LI, então , e também são LI.
Assumimos que , e são LI. Precisamos mostrar que se , então .
Substituindo as definições de , e , temos:
Distribuindo os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Como , e são LI, os coeficientes de cada vetor devem ser zero:
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação: .
Da segunda equação: .
Substituindo na terceira equação: .
Como e , então .
Mas da segunda equação, temos , o que confirma que todas as equações são satisfeitas apenas quando .
Passo 5
Agora vamos provar a segunda parte: se , e são LI, ent��o , e também são LI.
Assumimos que , e são LI. Precisamos mostrar que se , então .
Para isso, vamos expressar , e em termos de , e . A partir das definições:
Vamos resolver esse sistema para expressar , e .
Passo 6
Primeiro, da equação de :
Da equação de :
Agora substituímos na expressão de :
Das equações de :
Substituindo na expressão de :
Reorganizando:
Passo 7
Agora temos expressões para , e em termos de , e . Vamos substituir na equação :
Porém, isso pode ficar complicado, então vamos simplificar de outra forma usando a relação que já estabelecemos.
Sabemos que:
Substituindo em :
Passo 8
Agora, retornando à equação e substituindo as expressões encontradas:
Simplificando os coeficientes:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 9
Como , e são LI, os coeficientes de cada um devem ser zero:
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: .
Da segunda equação: .
Somando as duas equações: .
Substituindo na primeira equação: .
Agora, da terceira equação: .
Passo 10
Conseguimos mostrar que , o que prova que , e são LI quando , e são LI. Assim, concluímos que os dois conjuntos de vetores são linearmente independentes um se o outro for.
Resposta
Os vetores , e são linearmente independentes se, e somente se, os vetores , e também forem linearmente independentes.