Sejam os vetores u=2 x-y+3 z, v=-3 x+y+z e w=x-y+7 z. Encontrai as constantes a, b tais que w=a u+b v.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional: u, v e w. O objetivo é encontrar as constantes a e b tais que o vetor w pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u e v, ou seja, w = a u + b v. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Vamos começar escrevendo os vetores dados:
u = 2,x - y + 3,z
v = -3,x + y + z
w = x - y + 7,z
A combinação linear a u + b v será:
a u + b v = a(2,x - y + 3,z) + b(-3,x + y + z)

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes a e b:
a u + b v = (2a,x - a,y + 3a,z) + (-3b,x + b,y + b,z)
Agora, somamos os termos correspondentes:
a u + b v = (2a - 3b),x + (-a + b),y + (3a + b),z

Passo 4

Sabemos que a u + b v = w, então igualamos as componentes:
2a - 3b = 1 (componente x) -a + b = -1 (componente y) 3a + b = 7 (componente z)
Agora temos um sistema de três equações. Vamos resolver as duas primeiras para encontrar a e b.
Da segunda equação:
-a + b = -1 implies b = a - 1
Substituímos b na primeira equação:
2a - 3(a - 1) = 1 2a - 3a + 3 = 1 - a + 3 = 1 - a = -2 a = 2
Agora, substituímos a = 2 na expressão de b:
b = 2 - 1 = 1

Resposta

As constantes são a = 2 e b = 1, de forma que w = 2,u + 1,v.

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