Sejam
e
subespaços de
. Em relação à
e
, considere as afirmações abaixo:
I.
II.
é chamada soma direta de
com
;
III. A dimensão da soma
é 4 .
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) I, II e III.
I.
II.
III. A dimensão da soma
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) I, II e III.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear! A gente tem dois subespaços,
e
, dentro do espaço
. O desafio aqui é verificar quais das três afirmações sobre a interseção, a soma direta e a dimensão desses subespaços estão corretas. Para isso, vamos precisar entender o que são interseção de subespaços, soma de subespaços e como calcular a dimensão da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a afirmação I:
Isso significa que estamos procurando todos os vetores que estão simultaneamente em
e em
.
Vamos relembrar as definições:
-
é definido por duas equações: -
é definido por uma equação:
Para encontrar a interseção, precisamos resolver esse sistema de três equações:
Substituindo
na terceira equação:
E como
, temos
. Agora, já temos todas as coordenadas em termos de
:
Então, de fato, a interseção
é exatamente o conjunto
. Portanto, a afirmação I está correta.
Passo 3
Agora vamos para a afirmação II:
A soma de dois subespaços,
, é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de
com um vetor de
.
A soma direta ocorre quando a interseção de
e
contém apenas o vetor zero, ou seja,
.
No nosso caso, vimos no Passo 2 que
não é apenas o vetor zero, mas sim um conjunto infinito de vetores da forma
. Portanto, a soma
não é uma soma direta. A afirmação II está incorreta.
Passo 4
Por último, vamos verificar a afirmação III:
Para encontrar a dimensão da soma de dois subespaços, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, determinamos as dimensões individuais:
-
é definido por duas equações lineares em , então sua dimensão é . -
é definido por uma equação linear em , então sua dimensão é .
Já vimos que
(pois é um conjunto gerado por um parâmetro
).
Aplicando na fórmula:
Então, a dimensão da soma
realmente é 4. A afirmação III está correta.
Resposta
c) I e III, apenas.