Sejam W1 = {(x, y, z, t) em R^4 / x - z = 0 e y + t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) em R^4 / y + z - t = 0} subespaços de R^4. Em relação à W1 e W2, considere as afirmações abaixo:
I. W1 ∩ W2 = {(2t, -t, 2t, t) / t ∈ R}
II. W1 + W2 é chamada soma direta de W1 com W2;
III. A dimensão da soma W1 + W2 é 4 .
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) I, II e III.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear! A gente tem dois subespaços, W1 e W2, dentro do espaço R^4. O desafio aqui é verificar quais das três afirmações sobre a interseção, a soma direta e a dimensão desses subespaços estão corretas. Para isso, vamos precisar entender o que são interseção de subespaços, soma de subespaços e como calcular a dimensão da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a afirmação I:
Isso significa que estamos procurando todos os vetores que estão simultaneamente em W1 e em W2.
Vamos relembrar as definições:
  • W1 é definido por duas equações:
  • W2 é definido por uma equação:
Para encontrar a interseção, precisamos resolver esse sistema de três equações:
Substituindo na terceira equação:
E como , temos . Agora, já temos todas as coordenadas em termos de t:
Então, de fato, a interseção W1 ∩ W2 é exatamente o conjunto . Portanto, a afirmação I está correta.

Passo 3

Agora vamos para a afirmação II:
é
A soma de dois subespaços, , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de W1 com um vetor de W2.
A soma direta ocorre quando a interseção de W1 e W2 contém apenas o vetor zero, ou seja, .
No nosso caso, vimos no Passo 2 que W1 ∩ W2 não é apenas o vetor zero, mas sim um conjunto infinito de vetores da forma . Portanto, a soma não é uma soma direta. A afirmação II está incorreta.

Passo 4

Por último, vamos verificar a afirmação III:
ãé
Para encontrar a dimensão da soma de dois subespaços, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, determinamos as dimensões individuais:
  • W1 é definido por duas equações lineares em R^4, então sua dimensão é .
  • W2 é definido por uma equação linear em R^4, então sua dimensão é .
Já vimos que (pois é um conjunto gerado por um parâmetro t).
Aplicando na fórmula:
Então, a dimensão da soma realmente é 4. A afirmação III está correta.

Resposta

c) I e III, apenas.

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