Sejam e subespaços de . Em relação à e , considere as afirmações abaixo:
I.
II. é chamada soma direta de com ;
III. A dimensão da soma é 4 .
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)
a) I, apenas.
b) II e III, apenas.
c) I e III, apenas.
d) I, II e III.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de álgebra linear! A gente tem dois subespaços, e , dentro do espaço . O desafio aqui é verificar quais das três afirmações sobre a interseção, a soma direta e a dimensão desses subespaços estão corretas. Para isso, vamos precisar entender o que são interseção de subespaços, soma de subespaços e como calcular a dimensão da soma.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a afirmação I:
Isso significa que estamos procurando todos os vetores que estão simultaneamente em e em .
Vamos relembrar as definições:
é definido por duas equações:
é definido por uma equação:
Para encontrar a interseção, precisamos resolver esse sistema de três equações:
Substituindo na terceira equação:
E como , temos . Agora, já temos todas as coordenadas em termos de :
Então, de fato, a interseção é exatamente o conjunto . Portanto, a afirmação I está correta.
Passo 3
Agora vamos para a afirmação II:
A soma de dois subespaços, , é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de com um vetor de .
A soma direta ocorre quando a interseção de e contém apenas o vetor zero, ou seja, .
No nosso caso, vimos no Passo 2 que não é apenas o vetor zero, mas sim um conjunto infinito de vetores da forma . Portanto, a soma não é uma soma direta. A afirmação II está incorreta.
Passo 4
Por último, vamos verificar a afirmação III:
Para encontrar a dimensão da soma de dois subespaços, usamos a seguinte fórmula:
Primeiro, determinamos as dimensões individuais:
é definido por duas equações lineares em , então sua dimensão é .
é definido por uma equação linear em , então sua dimensão é .
Já vimos que (pois é um conjunto gerado por um parâmetro ).
Aplicando na fórmula:
Então, a dimensão da soma realmente é 4. A afirmação III está correta.