Um triângulo cujos vértices são as coordenadas polares (0,0); (8,40 graus) e (12,70 graus) tem a sua área medindo
a) 24 ua.
b) 48 ua.
c) 24 * raiz(3) ua.
d) 48 * raiz(3) ua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com três vértices dados em coordenadas polares: (0,0), e . O objetivo é descobrir a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas polares para cartesianas e usar fórmulas de geometria para calcular a área de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas polares para cartesianas. As coordenadas polares estão no formato (r, θ), onde r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo formado com o eixo positivo dos x. A fórmula para converter para cartesianas é:
Vamos aplicar isso aos pontos:
  • Ponto A: (0,0) já está na origem, então suas coordenadas cartesianas são (0,0).
  • Ponto B:
  • Ponto C:

Passo 3

Vamos calcular os valores aproximados desses pontos para facilitar a visualização:
  • Para o ponto B:
  • Para o ponto C:
Agora, temos as coordenadas cartesianas dos três pontos:
  • A:
  • B:
  • C:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três pontos no plano cartesiano. A fórmula é:
Á
Substituindo os valores que temos:
Á
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo:
Á

Passo 5

Agora, vamos verificar qual das alternativas está mais próxima do valor que encontramos, considerando possíveis arredondamentos:
  • a) 24 ua.
  • b) 48 ua.
  • c) 24 * raiz(3) ua.
  • d) 48 * raiz(3) ua.
O valor que calculamos foi aproximadamente unidades de área, então a resposta correta é a letra a) 24 ua.

Resposta

a) 24 ua.

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