Um triângulo cujos vértices são as coordenadas polares tem a sua área medindo
a) 24 ua.
b) 48 ua.
c) ua.
d) ua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com três vértices dados em coordenadas polares: , e . O objetivo é descobrir a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas polares para cartesianas e usar fórmulas de geometria para calcular a área de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas polares para cartesianas. As coordenadas polares estão no formato , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo formado com o eixo positivo dos . A fórmula para converter para cartesianas é:
Vamos aplicar isso aos pontos:
Ponto A: já está na origem, então suas coordenadas cartesianas são .
Ponto B:
Ponto C:
Passo 3
Vamos calcular os valores aproximados desses pontos para facilitar a visualização:
Para o ponto B:
Para o ponto C:
Agora, temos as coordenadas cartesianas dos três pontos:
A:
B:
C:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula da área de um triângulo dado por três pontos no plano cartesiano. A fórmula é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos calcular cada parte:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos verificar qual das alternativas está mais próxima do valor que encontramos, considerando possíveis arredondamentos:
a) 24 ua.
b) 48 ua.
c) ua.
d) ua.
O valor que calculamos foi aproximadamente unidades de área, então a resposta correta é a letra a) 24 ua.