Sejam
e
. Escreva
como a soma de dois vetores ortogonais, um pertencente a
e outro ortogonal a
.
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos dois vetores:
Queremos escrever o vetor
como a soma de dois vetores ortogonais:
- Um vetor que pertence ao conjunto de todos os múltiplos de
(isto é, na direção de ). - Outro vetor que é perpendicular a
.
Para fazer isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e ortogonalidade.
Passo 2
Projeto de
na direção de
:
Primeiro, precisamos encontrar a projeção de
sobre
. A fórmula para a projeção de
em
é:
Aqui, “
” representa o produto escalar entre dois vetores.
Passo 3
Calculando o produto escalar
:
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Passo 4
Calculando o produto escalar
:
Agora, calculamos o produto escalar de
consigo mesmo:
Passo 5
Encontrando a projeção de
em
:
Substituindo os valores encontrados na fórmula da projeção:
Simplificando as frações:
Passo 6
Encontrando o vetor ortogonal a
:
Agora, vamos encontrar o segundo vetor que é ortogonal a
. Esse vetor é simplesmente
menos a projeção de
em
:
Passo 7
Verificando a ortogonalidade:
Para garantir que os dois vetores encontrados são realmente ortogonais, podemos calcular o produto escalar entre eles:
Ops! Parece que cometemos um erro. Vamos corrigir.
Passo 8
Encontrando o vetor ortogonal a
corretamente:
Na verdade, a projeção está correta, mas ao subtrair
pela projeção, precisamos recomputar:
Passo 9
Verificando a ortogonalidade corretamente:
Vamos recalcular o produto escalar para verificar a ortogonalidade:
Ainda não está zero, indicando um erro. Vamos verificar novamente os cálculos anteriores.
Passo 10
Recalculando a projeção de
em
:
Voltamos à projeção:
Simplificando:
Passo 11
Encontrando o vetor ortogonal a
:
Agora, calculamos
:
Passo 12
Verificando a ortogonalidade corretamente:
Vamos calcular o produto escalar novamente:
Agora, está correto! Os vetores são ortogonais.
Resposta
Podemos escrever o vetor
como a soma de dois vetores ortogonais da seguinte forma:
Onde:
-
pertence a (é um múltiplo de ). -
é ortogonal a .