Sejam y=[l2 3] e u=[r4 -7]. Escreva y como a soma de dois vetores ortogonais, um pertencente a Lu e outro ortogonal a u.

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos dois vetores:
y = 2 3 e u = 4 -7
Queremos escrever o vetor como a soma de dois vetores ortogonais:
  1. Um vetor que pertence ao conjunto de todos os múltiplos de (isto é, na direção de ).
  2. Outro vetor que é perpendicular a .
Para fazer isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e ortogonalidade.

Passo 2

Projeto de proju y = ( y cdot uu cdot u ) u na direção de :
Primeiro, precisamos encontrar a projeção de sobre . A fórmula para a projeção de em é:
Aqui, “ ” representa o produto escalar entre dois vetores.

Passo 3

Calculando o produto escalar y cdot u = (2)(4) + (3)(-7) = 8 - 21 = -13 :
Vamos calcular o produto escalar entre e :

Passo 4

Calculando o produto escalar u cdot u = (4)^2 + (-7)^2 = 16 + 49 = 65 :
Agora, calculamos o produto escalar de consigo mesmo:

Passo 5

Encontrando a projeção de proju y = ( -1365 ) 4 -7 = -13 times 465 -13 times (-7)65 = -5265 9165 = -5265 9165 em -5265 9165 = -45 135 :
Substituindo os valores encontrados na fórmula da projeção:
Simplificando as frações:

Passo 6

Encontrando o vetor ortogonal a yperp = y - proju y = 2 3 - -45 135 = 2 + 45 3 - 135 = 145 25 :
Agora, vamos encontrar o segundo vetor que é ortogonal a . Esse vetor é simplesmente menos a projeção de em :

Passo 7

Verificando a ortogonalidade:
Para garantir que os dois vetores encontrados são realmente ortogonais, podemos calcular o produto escalar entre eles:
proju y cdot yperp = ( -45 135 ) cdot ( 145 25 ) = ( -45 times 145 ) + ( 135 times 25 ) = -5625 + 2625 = -3025 = -65 neq 0
Ops! Parece que cometemos um erro. Vamos corrigir.

Passo 8

Encontrando o vetor ortogonal a yperp = y - proju y = 2 3 - -45 135 = 2 + 45 3 - 135 = 145 25 corretamente:
Na verdade, a projeção está correta, mas ao subtrair pela projeção, precisamos recomputar:

Passo 9

Verificando a ortogonalidade corretamente:
Vamos recalcular o produto escalar para verificar a ortogonalidade:
proju y cdot yperp = ( -45 135 ) cdot ( 145 25 ) = ( -45 times 145 ) + ( 135 times 25 ) = -5625 + 2625 = -3025 = -65
Ainda não está zero, indicando um erro. Vamos verificar novamente os cálculos anteriores.

Passo 10

Recalculando a projeção de proju y = ( -1365 ) 4 -7 = -5265 9165 em -5265 9165 = -0,8 1,4 :
Voltamos à projeção:
Simplificando:

Passo 11

Encontrando o vetor ortogonal a yperp = y - proju y = 2 3 - -0,8 1,4 = 2 + 0,8 3 - 1,4 = 2,8 1,6 :
Agora, calculamos :

Passo 12

Verificando a ortogonalidade corretamente:
Vamos calcular o produto escalar novamente:
proju y cdot yperp = (-0,8)(2,8) + (1,4)(1,6) = -2,24 + 2,24 = 0
Agora, está correto! Os vetores são ortogonais.

Resposta

Podemos escrever o vetor y = -0,8 1,4 + 2,8 1,6 como a soma de dois vetores ortogonais da seguinte forma:
-0,8 1,4
Onde:
  • 2,8 1,6 pertence a (é um múltiplo de ).
  • é ortogonal a .

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