Verifique quais dos operadores a seguir são diagonalizáveis.
T: R^2 longrightarrow R^2 tal que T(x, y)=(2 y, x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para determinar se uma matriz (ou operador) pode ser diagonalizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador A = 0 & 2 1 & 0 como uma matriz. Sabendo que , a matriz associada a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = det( -lambda & 2 1 & -lambda ) = (-lambda)(-lambda) - (2)(1) = lambda^2 - 2 . Para isso, resolvemos o determinante da matriz lambda^2 - 2 = 0 Rightarrow lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2 , onde é a matriz identidade e é o autovalor:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:

Passo 4

Com os autovalores encontrados ( -raiz2 & 2 1 & -raiz2 v1 v2 = 0 0 e -raiz2 v1 + 2 v2 = 0 Rightarrow v1 = 2raiz2 v2 = raiz2 v2 ), vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para v^(1) = raiz2 1 :
Resolvemos raiz2 & 2 1 & raiz2 v1 v2 = 0 0 :

[
raiz2 v1 + 2 v2 = 0 Rightarrow v1 = -2raiz2 v2 = -raiz2 v2
v^(2) = -raiz2 1


]
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então . Portanto, um autovetor para é:
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo , temos . Então, um autovetor para é:

Passo 5

Agora que temos dois autovalores distintos e seus respectivos autovetores, podemos concluir que a matriz possui uma base de autovetores, ou seja, ela é diagonalizável. Isso porque, para ser diagonalizável, a matriz precisa ter um número de autovetores linearmente independentes igual à dimensão do espaço, que no caso é 2.

Resposta

O operador é diagonalizável.

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