Verifique quais dos operadores a seguir são diagonalizáveis.
tal que
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o operador linear
, definido por
, é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para determinar se uma matriz (ou operador) pode ser diagonalizada.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador
como uma matriz. Sabendo que
, a matriz associada a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de
. Para isso, resolvemos o determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade e
é o autovalor:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Passo 4
Com os autovalores encontrados (
e
), vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então
. Portanto, um autovetor para
é:
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor para
é:
Passo 5
Agora que temos dois autovalores distintos e seus respectivos autovetores, podemos concluir que a matriz
possui uma base de autovetores, ou seja, ela é diagonalizável. Isso porque, para ser diagonalizável, a matriz precisa ter um número de autovetores linearmente independentes igual à dimensão do espaço, que no caso é 2.
Resposta
O operador
é diagonalizável.