Sendo um tetraedro regular de lado unitário, calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tetraedro regular onde todos os lados medem 1 unidade. A gente precisa calcular a norma do produto vetorial de e , que é representado por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial da geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores e tem uma magnitude dada por:
onde é o ângulo entre os dois vetores. No nosso caso, e são vetores de lado unitário, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ângulo entre e no tetraedro regular. Em um tetraedro regular, todos os ângulos entre as arestas que partem de um mesmo vértice são iguais. Esse ângulo pode ser calculado usando a relação dos produtos internos:
Sabemos que:
Em um tetraedro regular, o produto interno entre dois vetores de arestas é .
Então:

Passo 4

Agora que temos , podemos encontrar usando a identidade trigonométrica:

Passo 5

Finalmente, aplicando a fórmula do produto vetorial:

Resposta

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Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(a) ;
Verifique, em cada um dos casos abaixo, se as bases e têm a mesma orientação:
(i)
(ii)
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
© ;
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(g) ;