Sendo A B C D um tetraedro regular de lado unitário, calcule |A B wed>= A C|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um tetraedro regular onde todos os lados medem 1 unidade. A gente precisa calcular a norma do produto vetorial de e , que é representado por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial da geometria vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores |u wed>= v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) e tem uma magnitude dada por:
onde é o ângulo entre os dois vetores. No nosso caso, e são vetores de lado unitário, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o ângulo AB cdot AC = |AB| cdot |AC| cdot cos(theta) = 1 cdot 1 cdot cos(theta) = cos(theta) entre cos(theta) = 13 implies theta = arccos(13) e no tetraedro regular. Em um tetraedro regular, todos os ângulos entre as arestas que partem de um mesmo vértice são iguais. Esse ângulo pode ser calculado usando a relação dos produtos internos:
Sabemos que:
Em um tetraedro regular, o produto interno entre dois vetores de arestas é .
Então:

Passo 4

Agora que temos sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1 implies sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta) = raiz1 - (13)^2 = raiz1 - 19 = raiz89 = 2raiz23 , podemos encontrar usando a identidade trigonométrica:

Passo 5

Finalmente, aplicando a fórmula do produto vetorial:
|AB wed>= AC| = |AB| cdot |AC| cdot sin(theta) = 1 cdot 1 cdot 2raiz23 = 2raiz23

Resposta

|AB wed>= AC| = 2raiz23

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