Sendo um tetraedro regular de lado unitário, calcule .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tetraedro regular onde todos os lados medem 1 unidade. A gente precisa calcular a norma do produto vetorial de e , que é representado por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial da geometria vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial de dois vetores e tem uma magnitude dada por:
onde é o ângulo entre os dois vetores. No nosso caso, e são vetores de lado unitário, ou seja, .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o ângulo entre e no tetraedro regular. Em um tetraedro regular, todos os ângulos entre as arestas que partem de um mesmo vértice são iguais. Esse ângulo pode ser calculado usando a relação dos produtos internos:
Sabemos que:
Em um tetraedro regular, o produto interno entre dois vetores de arestas é .
Então:
Passo 4
Agora que temos , podemos encontrar usando a identidade trigonométrica:
Passo 5
Finalmente, aplicando a fórmula do produto vetorial: