Verifique, em cada um dos casos abaixo, se as bases e F=f1, f2, f3 têm a mesma orientação:
(i) lf1=2 e1-e2-e3 f2=e1-e3 f3=e2
(ii) lf1=e1+e2+e3 f2=e1-e2+e3 f3=e1+e2-e3
Passo 1
Beleza, vamos lá! Precisamos verificar se as bases e têm a mesma orientação em dois cenários diferentes. Para isso, vamos usar o conceito de orientação de bases em álgebra linear. Basicamente, vamos montar uma matriz que relaciona as duas bases e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for positivo, as bases têm a mesma orientação; se for negativo, têm orientações opostas. Vamos precisar entender como montar essa matriz e como calcular o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base de para . Isso significa que cada vetor da base será expresso como uma combinação linear dos vetores da base . Os coeficientes dessas combinações formam as colunas da matriz.
Passo 3
Vamos começar com o caso (i):
f1 = 2e1 - e2 - e3 f2 = e1 - e3 f3 = e2
A matriz de mudança de base fica assim:
A = 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 2 times (0 times 0 - (-1) times 1) - 1 times (-1 times 0 - (-1) times 1) + 0 times (-1 times (-1) - 0 times 1) :
det(A) = 2 times (0 + 1) - 1 times (0 + 1) + 0 = 2 times 1 - 1 times 1 + 0 = 2 - 1 = 1
Simplificando:
Passo 5
Como o determinante é 1, que é positivo, isso significa que as bases e no caso (i) têm a mesma orientação.
Vamos calcular o determinante dessa nova matriz det(A) = 1 times (-1 times (-1) - 1 times 1) - 1 times (1 times (-1) - 1 times 1) + 1 times (1 times 1 - (-1) times 1) :
det(A) = 1 times (1 - 1) - 1 times (-1 - 1) + 1 times (1 + 1) = 1 times 0 - 1 times (-2) + 1 times 2 = 0 + 2 + 2 = 4
Simplificando:
Passo 8
Como o determinante é 4, que também é positivo, isso significa que as bases e no caso (ii) têm a mesma orientação.
Resposta
Em ambos os casos (i) e (ii), as bases e têm a mesma orientação.