Verifique, em cada um dos casos abaixo, se as bases e têm a mesma orientação:
(i)
(ii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Precisamos verificar se as bases e têm a mesma orientação em dois cenários diferentes. Para isso, vamos usar o conceito de orientação de bases em álgebra linear. Basicamente, vamos montar uma matriz que relaciona as duas bases e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for positivo, as bases têm a mesma orientação; se for negativo, têm orientações opostas. Vamos precisar entender como montar essa matriz e como calcular o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base de para . Isso significa que cada vetor da base será expresso como uma combinação linear dos vetores da base . Os coeficientes dessas combinações formam as colunas da matriz.
Passo 3
Vamos começar com o caso (i):
A matriz de mudança de base fica assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz :
Simplificando:
Passo 5
Como o determinante é 1, que é positivo, isso significa que as bases e no caso (i) têm a mesma orientação.
Passo 6
Agora vamos para o caso (ii):
A matriz de mudança de base fica assim:
Passo 7
Vamos calcular o determinante dessa nova matriz :
Simplificando:
Passo 8
Como o determinante é 4, que também é positivo, isso significa que as bases e no caso (ii) têm a mesma orientação.
Resposta
Em ambos os casos (i) e (ii), as bases e têm a mesma orientação.