Verifique, em cada um dos casos abaixo, se as bases e têm a mesma orientação:
(i)
(ii)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Precisamos verificar se as bases e têm a mesma orientação em dois cenários diferentes. Para isso, vamos usar o conceito de orientação de bases em álgebra linear. Basicamente, vamos montar uma matriz que relaciona as duas bases e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for positivo, as bases têm a mesma orientação; se for negativo, têm orientações opostas. Vamos precisar entender como montar essa matriz e como calcular o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz de mudança de base de para . Isso significa que cada vetor da base será expresso como uma combinação linear dos vetores da base . Os coeficientes dessas combinações formam as colunas da matriz.

Passo 3

Vamos começar com o caso (i):
A matriz de mudança de base fica assim:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz :
Simplificando:

Passo 5

Como o determinante é 1, que é positivo, isso significa que as bases e no caso (i) têm a mesma orientação.

Passo 6

Agora vamos para o caso (ii):
A matriz de mudança de base fica assim:

Passo 7

Vamos calcular o determinante dessa nova matriz :
Simplificando:

Passo 8

Como o determinante é 4, que também é positivo, isso significa que as bases e no caso (ii) têm a mesma orientação.

Resposta

Em ambos os casos (i) e (ii), as bases e têm a mesma orientação.

Exercícios relacionados

Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(h) ;
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(a) ;
Ex. 4. Simplifique as expressões algébricas fracionárias abaixo:
(a) ;
Sendo um tetraedro regular de lado unitário, calcule .