Sendo f e g funções dadas, nos itens abaixo, exiba a lei de associação de g(f) e seus domínios, de cada item.
f(x) = 10^(x + 2) e g(x) = x - 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função composta e determinar os domínios das funções envolvidas, onde temos:
Vamos precisar entender como compor funções e como encontrar os domínios delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a composição de funções. Quando compomos , isso significa que vamos aplicar a função primeiro e depois aplicar a função no resultado de . Matemáticamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Então,
Portanto, a lei de associação da função composta é:

Passo 4

Agora, vamos determinar os domínios das funções e , e também da função composta .
  • Domínio de : A função é uma função exponencial. Funções exponenciais estão definidas para todo número real, ou seja, o domínio de é:
  • Domínio de : A função é uma função polinomial de primeiro grau, que também está definida para todo número real. Assim, o domínio de é:
  • Domínio de : Para a composição estar bem definida, o conjunto de valores que pode assumir deve estar dentro do domínio de . Como sempre produz números positivos (já que 10 elevado a qualquer potência positiva é positivo) e aceita todos os números reais, não há restrições adicionais. Portanto, o domínio de é o mesmo que o domínio de :

Resposta

A lei de associação da função composta é:
E os domínios são:

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