Sendo as matrizes A= 1 2 3/0 6 1 B= 1 1/ 4 4/ 2 2 e C= 1 -1 1/ -1 1 -1 determine:
a) A . B
b) B . A
c) A . I3
d) I2. A
e) B . C

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A gente tem três matrizes:
  • A = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1 (2x3)
  • B = 1 & 1 4 & 4 2 & 2 (3x2)
  • C = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 (2x3)
E a gente precisa calcular várias multiplicações entre essas matrizes e as matrizes identidade I2 e I3. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes, verificar se as multiplicações são possíveis (tamanho compatível) e usar a definição de matriz identidade. Vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a letra a) A × B.
Passo 2.1: Verificar se a multiplicação é possível.
  • A é 2x3 e B é 3x2.
  • O número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de B (3).
  • Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2x2.
Passo 2.2: Fazer a multiplicação.
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira pela coluna da segunda e somando os resultados.
A times B = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1 times 1 & 1 4 & 4 2 & 2
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1): 1 times 1 + 2 times 4 + 3 times 2 = 1 + 8 + 6 = 15
  • Elemento (1,2): 1 times 1 + 2 times 4 + 3 times 2 = 1 + 8 + 6 = 15
  • Elemento (2,1): 0 times 1 + 6 times 4 + 1 times 2 = 0 + 24 + 2 = 26
  • Elemento (2,2): 0 times 1 + 6 times 4 + 1 times 2 = 0 + 24 + 2 = 26
Então,
A times B = 15 & 15 26 & 26

Passo 3

Agora, vamos para a letra b) B × A.
Passo 3.1: Verificar se a multiplicação é possível.
  • B é 3x2 e A é 2x3.
  • O número de colunas de B (2) é igual ao número de linhas de A (2).
  • Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 3x3.
Passo 3.2: Fazer a multiplicação.
B times A = 1 & 1 4 & 4 2 & 2 times 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1): 1 times 1 + 1 times 0 = 1 + 0 = 1
  • Elemento (1,2): 1 times 2 + 1 times 6 = 2 + 6 = 8
  • Elemento (1,3): 1 times 3 + 1 times 1 = 3 + 1 = 4
  • Elemento (2,1): 4 times 1 + 4 times 0 = 4 + 0 = 4
  • Elemento (2,2): 4 times 2 + 4 times 6 = 8 + 24 = 32
  • Elemento (2,3): 4 times 3 + 4 times 1 = 12 + 4 = 16
  • Elemento (3,1): 2 times 1 + 2 times 0 = 2 + 0 = 2
  • Elemento (3,2): 2 times 2 + 2 times 6 = 4 + 12 = 16
  • Elemento (3,3): 2 times 3 + 2 times 1 = 6 + 2 = 8
Então,
B times A = 1 & 8 & 4 4 & 32 & 16 2 & 16 & 8

Passo 4

Vamos para a letra c) A × I₃.
Passo 4.1: Entender o que é a matriz identidade.
A matriz identidade I₃ é uma matriz quadrada de ordem 3, onde os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0:
I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 4.2: Verificar a multiplicação.
  • A é 2x3 e I₃ é 3x3.
  • O número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de I₃ (3).
  • Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2x3.
Passo 4.3: Fazer a multiplicação.
Multiplicar qualquer matriz por uma matriz identidade do tamanho compatível resulta na própria matriz original.
Então,
A times I3 = A = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1

Passo 5

Agora, a letra d) I₂ × A.
Passo 5.1: Conhecer a matriz identidade I₂.
I2 = 1 & 0 0 & 1
Passo 5.2: Verificar a multiplicação.
  • I₂ é 2x2 e A é 2x3.
  • O número de colunas de I₂ (2) é igual ao número de linhas de A (2).
  • Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2x3.
Passo 5.3: Fazer a multiplicação.
Multiplicar a matriz identidade por qualquer matriz compatível resulta na própria matriz original.
Então,
I2 times A = A = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1

Passo 6

Por fim, vamos para a letra e) B × C.
Passo 6.1: Verificar se a multiplicação é possível.
  • B é 3x2 e C é 2x3.
  • O número de colunas de B (2) é igual ao número de linhas de C (2).
  • Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 3x3.
Passo 6.2: Fazer a multiplicação.
B times C = 1 & 1 4 & 4 2 & 2 times 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1): 1 times 1 + 1 times (-1) = 1 - 1 = 0
  • Elemento (1,2): 1 times (-1) + 1 times 1 = -1 + 1 = 0
  • Elemento (1,3): 1 times 1 + 1 times (-1) = 1 - 1 = 0
  • Elemento (2,1): 4 times 1 + 4 times (-1) = 4 - 4 = 0
  • Elemento (2,2): 4 times (-1) + 4 times 1 = -4 + 4 = 0
  • Elemento (2,3): 4 times 1 + 4 times (-1) = 4 - 4 = 0
  • Elemento (3,1): 2 times 1 + 2 times (-1) = 2 - 2 = 0
  • Elemento (3,2): 2 times (-1) + 2 times 1 = -2 + 2 = 0
  • Elemento (3,3): 2 times 1 + 2 times (-1) = 2 - 2 = 0
Então,
B times C = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

a) $ A \times B = A times B = 15 & 15 26 & 26 $
b) $ B \times A = B times A = 1 & 8 & 4 4 & 32 & 16 2 & 16 & 8 $
c) $ A \times I_3 = A times I3 = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1 $
d) $ I_2 \times A = I2 times A = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1 $
e) $ B \times C = B times C = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 $

Exercícios relacionados