Sendo as matrizes A= 1 2 3/0 6 1 B= 1 1/ 4 4/ 2 2 e C= 1 -1 1/ -1 1 -1 determine:
a) A . B
b) B . A
c) A . I3
d) I2. A
e) B . C
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! A gente tem três matrizes:
A = (2x3)
B = (3x2)
C = 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1 (2x3)
E a gente precisa calcular várias multiplicações entre essas matrizes e as matrizes identidade I2 e I3. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes, verificar se as multiplicações são possíveis (tamanho compatível) e usar a definição de matriz identidade. Vamos lá!
Passo 2
Vamos resolver a letra a) A × B.
Passo 2.1: Verificar se a multiplicação é possível.
A é 2x3 e B é 3x2.
O número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de B (3).
Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2x2.
Passo 2.2: Fazer a multiplicação.
A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira pela coluna da segunda e somando os resultados.
A times B = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1 times 1 & 1 4 & 4 2 & 2
Vamos calcular cada elemento:
Elemento (1,1):1 times 1 + 2 times 4 + 3 times 2 = 1 + 8 + 6 = 15
Elemento (1,2):1 times 1 + 2 times 4 + 3 times 2 = 1 + 8 + 6 = 15
Elemento (2,1):0 times 1 + 6 times 4 + 1 times 2 = 0 + 24 + 2 = 26
Elemento (2,2):0 times 1 + 6 times 4 + 1 times 2 = 0 + 24 + 2 = 26
Então,
A times B = 15 & 15 26 & 26
Passo 3
Agora, vamos para a letra b) B × A.
Passo 3.1: Verificar se a multiplicação é possível.
B é 3x2 e A é 2x3.
O número de colunas de B (2) é igual ao número de linhas de A (2).
Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 3x3.
Passo 3.2: Fazer a multiplicação.
B times A = 1 & 1 4 & 4 2 & 2 times 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1
Vamos calcular cada elemento:
Elemento (1,1):1 times 1 + 1 times 0 = 1 + 0 = 1
Elemento (1,2):1 times 2 + 1 times 6 = 2 + 6 = 8
Elemento (1,3):1 times 3 + 1 times 1 = 3 + 1 = 4
Elemento (2,1):4 times 1 + 4 times 0 = 4 + 0 = 4
Elemento (2,2):4 times 2 + 4 times 6 = 8 + 24 = 32
Elemento (2,3):4 times 3 + 4 times 1 = 12 + 4 = 16
Elemento (3,1):2 times 1 + 2 times 0 = 2 + 0 = 2
Elemento (3,2):2 times 2 + 2 times 6 = 4 + 12 = 16
Elemento (3,3):2 times 3 + 2 times 1 = 6 + 2 = 8
Então,
B times A = 1 & 8 & 4 4 & 32 & 16 2 & 16 & 8
Passo 4
Vamos para a letra c) A × I₃.
Passo 4.1: Entender o que é a matriz identidade.
A matriz identidade I₃ é uma matriz quadrada de ordem 3, onde os elementos da diagonal principal são 1 e os demais são 0:
I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Passo 4.2: Verificar a multiplicação.
A é 2x3 e I₃ é 3x3.
O número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de I₃ (3).
Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2x3.
Passo 4.3: Fazer a multiplicação.
Multiplicar qualquer matriz por uma matriz identidade do tamanho compatível resulta na própria matriz original.
Então,
A times I3 = A = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1
Passo 5
Agora, a letra d) I₂ × A.
Passo 5.1: Conhecer a matriz identidade I₂.
I2 = 1 & 0 0 & 1
Passo 5.2: Verificar a multiplicação.
I₂ é 2x2 e A é 2x3.
O número de colunas de I₂ (2) é igual ao número de linhas de A (2).
Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 2x3.
Passo 5.3: Fazer a multiplicação.
Multiplicar a matriz identidade por qualquer matriz compatível resulta na própria matriz original.
Então,
I2 times A = A = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1
Passo 6
Por fim, vamos para a letra e) B × C.
Passo 6.1: Verificar se a multiplicação é possível.
B é 3x2 e C é 2x3.
O número de colunas de B (2) é igual ao número de linhas de C (2).
Então, a multiplicação é possível e o resultado será uma matriz 3x3.
Passo 6.2: Fazer a multiplicação.
B times C = 1 & 1 4 & 4 2 & 2 times 1 & -1 & 1 -1 & 1 & -1
Vamos calcular cada elemento:
Elemento (1,1):1 times 1 + 1 times (-1) = 1 - 1 = 0
Elemento (1,2):1 times (-1) + 1 times 1 = -1 + 1 = 0
Elemento (1,3):1 times 1 + 1 times (-1) = 1 - 1 = 0
Elemento (2,1):4 times 1 + 4 times (-1) = 4 - 4 = 0
Elemento (2,2):4 times (-1) + 4 times 1 = -4 + 4 = 0
Elemento (2,3):4 times 1 + 4 times (-1) = 4 - 4 = 0
Elemento (3,1):2 times 1 + 2 times (-1) = 2 - 2 = 0
Elemento (3,2):2 times (-1) + 2 times 1 = -2 + 2 = 0
Elemento (3,3):2 times 1 + 2 times (-1) = 2 - 2 = 0
Então,
B times C = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
Resposta
a) $ A \times B = A times B = 15 & 15 26 & 26 $
b) $ B \times A = B times A = 1 & 8 & 4 4 & 32 & 16 2 & 16 & 8 $
c) $ A \times I_3 = A times I3 = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1 $
d) $ I_2 \times A = I2 times A = 1 & 2 & 3 0 & 6 & 1 $
e) $ B \times C = B times C = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 $