Sendo |u|=3,|v|=4 e 120 o ângulo entre os vetores u e v, calcular: |u times(v-u)|
c) O volume do paralelepípedo determinado por u times v, u e v.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , com magnitudes e . O ângulo entre eles é de 120 graus. A primeira parte nos pede para calcular , e a parte c) quer o volume do paralelepípedo formado por , e . Vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e cálculo de volume de paralelepípedo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Subtrair vetores é simples: subtraímos componente a componente, mas como não temos as componentes específicas, vamos trabalhar com as magnitudes e o ângulo.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto vetorial |a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta) . Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre e .

Passo 4

Vamos determinar o vetor |v - u| = raiz|v|^2 + |u|^2 - 2 |v| |u| cos(180° - theta) . A magnitude de pode ser encontrada usando a lei do cosseno:
Aqui, ajustamos o ângulo porque estamos subtraindo de .

Passo 5

Sabemos que |v - u| = raiz4^2 + 3^2 - 2 cdot 4 cdot 3 cdot cos(60°) = raiz16 + 9 - 24 cdot 0.5 = raiz25 - 12 = raiz13 , então . Vamos substituir:

Passo 6

Agora, calculamos |u times (v - u)| = |u| cdot |v - u| cdot sin(phi) usando a fórmula do produto vetorial:
onde é o ângulo entre e . Como está resultante de subtrair de , o ângulo é o mesmo que o ângulo entre e , que é 120°.

Passo 7

Substituindo os valores:
|u times (v - u)| = 3 cdot raiz13 cdot sin(120°) = 3 cdot raiz13 cdot raiz32 = 3 raiz392

Passo 8

Agora, vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado por V = |a cdot (b times c)| , e . O volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do triplamente produto escalar:
No nosso caso, , e .

Passo 9

Calculando o triplamente produto:
V = |(u times v) cdot (u times v)|
Sabemos que V = |u times v|^2 , então:

Passo 10

Primeiro, vamos encontrar |u times v| = |u| cdot |v| cdot sin(theta) = 3 cdot 4 cdot sin(120°) = 12 cdot raiz32 = 6raiz3 :
V = (6raiz3)^2 = 36 cdot 3 = 108
Então, o volume é:

Resposta

O volume do paralelepípedo determinado por , e é igual a 108 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados