Sendo e 120 o ângulo entre os vetores e , calcular:
c) O volume do paralelepípedo determinado por .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , com magnitudes e . O ângulo entre eles é de 120 graus. A primeira parte nos pede para calcular , e a parte c) quer o volume do paralelepípedo formado por , e . Vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e cálculo de volume de paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular . Subtrair vetores é simples: subtraímos componente a componente, mas como não temos as componentes específicas, vamos trabalhar com as magnitudes e o ângulo.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre e .
Passo 4
Vamos determinar o vetor . A magnitude de pode ser encontrada usando a lei do cosseno:
Aqui, ajustamos o ângulo porque estamos subtraindo de .
Passo 5
Sabemos que , então . Vamos substituir:
Passo 6
Agora, calculamos usando a fórmula do produto vetorial:
onde é o ângulo entre e . Como está resultante de subtrair de , o ângulo é o mesmo que o ângulo entre e , que é 120°.
Passo 7
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado por , e . O volume de um paralelepípedo formado por três vetores , e é dado pelo valor absoluto do triplamente produto escalar:
No nosso caso, , e .
Passo 9
Calculando o triplamente produto:
Sabemos que , então:
Passo 10
Primeiro, vamos encontrar :
Então, o volume é:
Resposta
O volume do paralelepípedo determinado por , e é igual a 108 unidades cúbicas.