Sendo
e 120 o ângulo entre os vetores
e
, calcular:
c) O volume do paralelepípedo determinado por
.
c) O volume do paralelepípedo determinado por
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, com magnitudes
e
. O ângulo entre eles é de 120 graus. A primeira parte nos pede para calcular
, e a parte c) quer o volume do paralelepípedo formado por
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de produto vetorial e cálculo de volume de paralelepípedo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Subtrair vetores é simples: subtraímos componente a componente, mas como não temos as componentes específicas, vamos trabalhar com as magnitudes e o ângulo.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o produto vetorial
. Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 4
Vamos determinar o vetor
. A magnitude de
pode ser encontrada usando a lei do cosseno:
Aqui, ajustamos o ângulo porque estamos subtraindo
de
.
Passo 5
Sabemos que
, então
. Vamos substituir:
Passo 6
Agora, calculamos
usando a fórmula do produto vetorial:
onde
é o ângulo entre
e
. Como
está resultante de subtrair
de
, o ângulo
é o mesmo que o ângulo entre
e
, que é 120°.
Passo 7
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado por
,
e
. O volume
de um paralelepípedo formado por três vetores
,
e
é dado pelo valor absoluto do triplamente produto escalar:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 9
Calculando o triplamente produto:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Primeiro, vamos encontrar
:
Então, o volume é:
Resposta
O volume do paralelepípedo determinado por
,
e
é igual a 108 unidades cúbicas.