Sendo , determine e , para que o número seja um número real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema nos dá um número complexo e pede para encontrarmos os valores de e que fazem com que seja um número real. Aqui, estamos lidando com números complexos e vamos precisar entender como eles funcionam para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo tem duas partes: uma parte real e uma parte imaginária. No nosso caso, é dado por:
á
No exercício, a parte real é e a parte imaginária é . Para que seja um número real, a parte imaginária precisa ser zero. Isso porque números reais não têm componente imaginária.

Passo 3

Vamos então igualar a parte imaginária a zero:
Simplificando isso:

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação . Isso é uma equação quadrática simples. Podemos resolver adicionando 16 aos dois lados:
Em seguida, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Passo 5

Com os valores de encontrados, agora sabemos que pode ser 4 ou -4 para que a parte imaginária de seja zero. Isso faz com que seja um número real.
Quanto ao valor de , observamos que ele está apenas na parte real de :
Como queremos que seja real, e não especificamos nenhum valor específico para , pode ser qualquer número real. Não há restrição para além de ser um número real.

Resposta

Para que seja um número real, deve ser 4 ou -4, e pode ser qualquer número real.

Exercícios relacionados

Determine de modo que o número complexo seja imaginário puro.
Resolva a equação abaixo:
Sendo , determine e , para que o número seja um número imaginário puro.
Sendo , determine os números reais , tais que a parte imaginária de z seja negativa.