Sendo
a equação de uma superfície, qual é a equação do plano tangente no ponto de abscissa 2 e ordenada - 3 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto onde a abscissa é 2 e a ordenada é -3. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a coordenada z correspondente ao ponto dado. Substituindo
e
na equação da superfície:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função
em relação a x e y. Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nos eixos x e y no ponto dado.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a x:
Substituindo
e
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a y:
Substituindo
e
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 7
Simplificando a equação:
Multiplicando todos os termos para eliminar as frações, se preferir:
Resposta
A equação do plano tangente no ponto dado é:
Exercícios relacionados
A temperatura em uma chapa de metal em um ponto (x, y) é dada por
. A taxa de variação da temperatura na chapa é dada em
. Se um pequeno inseto está no ponto
e se dirigindo para o ponto
, que afirmação pode ser feita em relação à sua temperatura?
Se a função receita for
, obtenha o valor de
que maximiza a receita.
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções:
A temperatura sobre uma certa superfície é dada por
em
. Partindo da localização
, qual será a variação da temperatura de uma partícula na posição em que o vetor unitário é dado pelo ângulo
?