Sendo z = raiz(130 - x^2 - 5y^2) a equação de uma superfície, qual é a equação do plano tangente no ponto de abscissa 2 e ordenada - 3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície no ponto onde a abscissa é 2 e a ordenada é -3. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a coordenada z correspondente ao ponto dado. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y. Essas derivadas nos darão as inclinações da superfície nos eixos x e y no ponto dado.
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a x:
Substituindo e :

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a y:
Substituindo e :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, usamos a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:

Passo 7

Simplificando a equação:
Multiplicando todos os termos para eliminar as frações, se preferir:

Resposta

A equação do plano tangente no ponto dado é:

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