Sendo
, senhy
, coshy
e
mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma expressão para
e define as funções hiperbólicas seno e cosseno, além do cosseno de um número complexo. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de funções hiperbólicas e de funções trigonométricas para números complexos. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é expressado o cosseno de um número complexo. Pela definição fornecida:
Como
, vamos substituir isso na expressão:
Passo 3
Agora, simplificamos os expoentes. Vamos distribuir o
dentro dos parênteses:
e
Então, a expressão fica:
Passo 4
Vamos reescrever os termos exponenciais separando as partes reais e imaginárias:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos lembrar da forma de Euler para o cosseno:
Substituindo essas expressões:
Passo 6
Vamos distribuir
e
:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, vamos reconhecer as definições das funções hiperbólicas:
Note que
.
Substituindo na expressão:
Passo 8
Simplificando a expressão final:
Resposta
Portanto, mostramos que: