Sendo z = x + i y, senhy (e^y - e^-y) / 2, coshy (e^y + e^-y) / 2 e cos(z) = (e^(i*z) + e^(-i*z)) / 2 mostre que
cos(z) = cos(x) * cosh(y) - i * sen(x) * senh(y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma expressão para e define as funções hiperbólicas seno e cosseno, além do cosseno de um número complexo. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar as definições de funções hiperbólicas e de funções trigonométricas para números complexos. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é expressado o cosseno de um número complexo. Pela definição fornecida:
Como , vamos substituir isso na expressão:

Passo 3

Agora, simplificamos os expoentes. Vamos distribuir o dentro dos parênteses:
e
Então, a expressão fica:

Passo 4

Vamos reescrever os termos exponenciais separando as partes reais e imaginárias:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Agora, vamos lembrar da forma de Euler para o cosseno:
Substituindo essas expressões:

Passo 6

Vamos distribuir e :
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:

Passo 7

Agora, vamos reconhecer as definições das funções hiperbólicas:
Note que .
Substituindo na expressão:

Passo 8

Simplificando a expressão final:

Resposta

Portanto, mostramos que:

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