Use a fórmula Integral de Cauchy para calcular a integral oint|z-1|=2 e^zz^2-4 d z, onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema pede. Temos que calcular a integral oint|z-1|=2 e^zz^2-4 dz usando a Fórmula Integral de Cauchy. Isso significa que vamos trabalhar com integrais no plano complexo e precisamos identificar onde a função possui pontos especiais chamados singularidades dentro do contorno de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a função e^zz^2-4 tem singularidades, ou seja, onde o denominador é igual a zero. Resolvendo z^2 - 4 = 0, temos:
z^2 = 4 Rightarrow z = 2 ou z = -2
Então, as singularidades estão em z = 2 e z = -2.

Passo 3

Agora precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno de integração, que é o círculo definido por |z - 1| = 2. Isso significa que o círculo tem centro em z = 1 e raio 2.
Vamos calcular a distância de cada ponto até o centro:
  • Para z = 2:
    |2 - 1| = 1
  • Para z = -2:
    |-2 - 1| = 3
A distância de z = 2 até o centro é 1, que é menor que o raio 2. Já a distância de z = -2 é 3, que é maior que o raio 2. Portanto, apenas z = 2 está dentro do contorno.

Passo 4

Como apenas z = 2 está dentro do contorno, podemos aplicar a Fórmula de Cauchy para Resíduos. Para uma função f(z) com um polo simples em z0, a integral ao redor desse polo é dada por:
ointC f(z) dz = 2pi i cdot Res(f, z0)
Aqui, Res(f, z0) representa o resíduo da função f no ponto z0.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo da função e^zz^2-4 em z = 2. Primeiro, fatoramos o denominador:
z^2 - 4 = (z - 2)(z + 2)
Como z = 2 é um polo simples, o resíduo é dado por:
Res( e^z(z - 2)(z + 2), 2 ) = e^2(2 + 2) = e^24

Passo 6

Agora, aplicamos a Fórmula de Cauchy:
oint|z-1|=2 e^zz^2-4 dz = 2pi i cdot e^24 = pi i e^22

Resposta

O valor da integral é pi i e^22.

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