Use a fórmula Integral de Cauchy para calcular a integral $\oint_{|z-1|=2} \frac{e^{z}}{z^{2}-4} d z$, onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema pede. Temos que calcular a integral
usando a Fórmula Integral de Cauchy. Isso significa que vamos trabalhar com integrais no plano complexo e precisamos identificar onde a função possui pontos especiais chamados singularidades dentro do contorno de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a função
tem singularidades, ou seja, onde o denominador é igual a zero. Resolvendo
, temos:
Então, as singularidades estão em
e
.
Passo 3
Agora precisamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno de integração, que é o círculo definido por
. Isso significa que o círculo tem centro em
e raio 2.
Vamos calcular a distância de cada ponto até o centro:
-
Para
: -
Para
:
A distância de
até o centro é 1, que é menor que o raio 2. Já a distância de
é 3, que é maior que o raio 2. Portanto, apenas
está dentro do contorno.
Passo 4
Como apenas
está dentro do contorno, podemos aplicar a Fórmula de Cauchy para Resíduos. Para uma função
com um polo simples em
, a integral ao redor desse polo é dada por:
Aqui,
representa o resíduo da função
no ponto
.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo da função
em
. Primeiro, fatoramos o denominador:
Como
é um polo simples, o resíduo é dado por:
Passo 6
Agora, aplicamos a Fórmula de Cauchy:
Resposta
O valor da integral é
.
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<div>onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.</div>
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<div>onde o contorno é percorrido no sentido anti-horário.</div>
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