Uma senha é formada por 8 caracteres, permutando-se os elementos do conjunto {a, b, c, d, e, 1, 3, 5}. Quantas senhas diferentes podem ser formadas de modo que na 2.ª posição haja uma letra e na 6.ª posição um algarismo?
A) 2600
B) 3400
C) 10800
D) 9300
A) 2600
B) 3400
C) 10800
D) 9300
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de combinações aqui, relacionado a como formar senhas com certas restrições. A gente precisa descobrir quantas senhas diferentes podem ser feitas com 8 caracteres do conjunto {a, b, c, d, e, 1, 3, 5}, sabendo que na 2ª posição tem que ser uma letra e na 6ª posição tem que ser um número. Para resolver isso, vamos usar princípios de permutações e contagem de possibilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quantas letras e quantos números temos no conjunto. Olhando para {a, b, c, d, e, 1, 3, 5}:
- Letras: a, b, c, d, e → 5 letras
- Números: 1, 3, 5 → 3 números
Passo 3
Agora, vamos pensar nas posições da senha:
- 1ª posição: pode ser qualquer um dos 8 caracteres.
- 2ª posição: tem que ser uma letra → 5 opções.
- 3ª posição: qualquer dos restantes.
- 4ª posição: qualquer dos restantes.
- 5ª posição: qualquer dos restantes.
- 6ª posição: tem que ser um número → 3 opções.
- 7ª posição: qualquer dos restantes.
- 8ª posição: qualquer dos restantes.
Passo 4
No entanto, como estamos permutando os elementos, uma vez que colocamos um caractere em uma posição, ele não pode ser repetido nas outras posições. Então, precisamos considerar que após escolher uma letra para a 2ª posição e um número para a 6ª posição, restam 6 caracteres para preencher as outras posições.
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- Escolher a 2ª posição (letra): Temos 5 opções.
- Escolher a 6ª posição (número): Temos 3 opções.
- Preencher as outras 6 posições: Agora, restam 6 caracteres, e para cada posição, a gente tem uma opção a menos. Isso é uma permutações de 6 elementos, que é
(6 fatorial).
Passo 6
Calculando:
Então, o total de senhas possíveis é:
- Número de opções = Opções para 2ª posição × Opções para 6ª posição × Permutações das outras posições
-
Resposta
A quantidade de senhas diferentes que podem ser formadas é 10.800. Portanto, a resposta correta é a opção C) 10800.