Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na sequência
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme
cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências, potências e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que a raiz enésima de um número pode ser escrita como uma potência com expoente
. Então, podemos reescrever
da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos separar os fatores dentro da potência:
Simplificando cada parte:
-
-
permanece como está por enquanto.
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o termo
. Para entender o comportamento desse termo quando
cresce, observamos que:
Isso acontece porque, conforme
fica muito grande,
fica muito pequeno (tende a zero), e qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.
Passo 5
Com essa informação, podemos encontrar o limite de
:
Resposta
A sequência
converge, e seu limite é 4.
Exercícios relacionados
Seja
.
Descreva as curvas de nível com os valores de
obtidos em a).
Descreva as curvas de nível
Seja
.
;
Quais das sequências
nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.