Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na sequência . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum número). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências, potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Sabemos que a raiz enésima de um número pode ser escrita como uma potência com expoente . Então, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos separar os fatores dentro da potência:
Simplificando cada parte:
  1. permanece como está por enquanto.
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o termo . Para entender o comportamento desse termo quando cresce, observamos que:
Isso acontece porque, conforme fica muito grande, fica muito pequeno (tende a zero), e qualquer número positivo elevado a uma potência que tende a zero resulta em 1.

Passo 5

Com essa informação, podemos encontrar o limite de :

Resposta

A sequência converge, e seu limite é 4.

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Seja .
Descreva as curvas de nível com os valores de obtidos em a).
Seja .
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Quais das sequências nos Exercícios 27-90 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.